重極限

多元實變函式f(p)=f(x₁,x₂,...,x_m )，當它的所有變數同時取極限時函式值的極限，這種極限稱為重極限。當自變數x₁,x₂,...,x_m不是同時取極限，而是依一定的順序相繼取極限時，f(x₁,x₂,...,x_m)的極限，稱為累次極限。

基本介紹

• 中文名：重極限
• 所屬學科：數學
• 簡介：多元函式的一種極限
• 特例：二重極限

基本介紹

重極限是多元函式的一種極限，因為對n(≥2)元函式而言，極限

中x=(x₁，x₂，…，x_n)，a=(a₁，a₂，…，a_n)∈Rⁿ，x→a意味著同時有x₁→a₁，x₂→a₂，…，x_n→a_n，故稱相應的極限為n重極限，作為多元函式特例的多重數列的極限也稱為重極限。如二重極限

證明重極限不存在常用的方法是證明沿兩種不同路徑極限不同（通常可取過點的直線）。例如證明重極限不存在，取直線y=kx，讓點(x,y)沿直線y=kx趨於（0,0）點此時有，則重極限不存在。

求重極限

求重極限的常用方法有：

1)利用極限性質(四則運算法則，夾逼原理)；

2)消去分母中極限為零的因子(有理化，等價無窮小代換)；

3)利用無窮小量與有界變數之積為無窮小量。

【例1】求下列極限

（1）；

解：（1）由於

而，由夾逼原理知.

（2）.

解：（2）將分子有理化：

原式=

重極限與累次極限的關係

多元實變函式f(p)=f(x₁,x₂,...,x_m)，當它的所有變數同時取極限時函式值的極限，這種極限稱為重極限。當自變數x₁,x₂,...,x_m不是同時取極限，而是依一定的順序相繼取極限時，f(x₁,x₂,...,x_m)的極限，稱為累次極限。

例如，當p(x，y)為平面中的點時，設聚點A的坐標為(a，b)，則f(P)在P→4時的重極限為

我們也把它記作

而它的兩個累次極限則記為

與

重極限與累次極限的關係

（1）累次極限存在且相等時，重極限未必存在。

（2）重極限存在時，累次極限不一定存在。

（3）若與都存在，則二者必相等。

（4）若與都存在，則三者必相等。

（5）若，則不存在。

注意

1.對於二個不同變數的極限過程在交換其次序的時候，應該加以注意，不是無條件地都可以交換次序的。

2.累次極限和重極限的關係也是相當複雜的，不能把重極限存在(或累次極限存在且相等)認為是累次極限相等(或重極限序在)的必要條件。