累次極限

與一元函式的極限相類似，二元函式的極限同樣是二元函式微積分的基礎。但因自變數個數的增多，導致二元函式的極限要比一元函式的極限複雜很多。求累次極限實質上是求兩次一元函式的極限，因此，累次極限又稱二次極限。需要注意的是：累次極限與重極限是兩個不同的概念，它們的存在性沒有必然的蘊含關係。

基本介紹

• 中文名：累次極限
• 外文名：repeated limit
• 學科：數學
• 領域範圍：數學分析
• 屬性：二元函式的極限與連續

定義和例子

定義1

設 ， 在 軸、 軸上的投影分別為 ，即

分別是 的聚點。若對每一個 ，存在極限 ，它一般與 有關，故記作

如果進一步還存在極限

則稱此極限 為 先對 ，後對 的累次極限，記作

類似地可以定義先對 後對 的累次極限

對於兩個自變數 同時以任何方式趨於 ，即

這種極限也稱為重極限。

累次極限與重極限是兩個不同的概念，它們的存在性沒有必然的蘊含關係。下面兩個例子將說明這一點。

例1

設 ，它關於原點的兩個累次極限分別為

與

當沿斜率不同的直線 ，容易驗證所得極限也不同。因此該函式的重極限不存在。

例2

設 ，它關於原點的兩個累次極限都不存在。這是因為對任何 ，當 時 的第二項不存在極限。同理，對任何 ，當 時 的第一項也不存在極限。但是由於

故 的重極限存在，且

重極限與累次極限之間的聯繫

定理1

若 在點 存在重極限

與累次極限

則它們必相等。

推論1

若累次極限

和重極限

都存在，則三者相等。

推論2

若累次極限

存在但不相等，則重極限 必不存在。

定理1保證了在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等，但它們對另一個累次極限的存在性卻得不出什麼結論。