重整化理論在基礎數學中的套用

《重整化理論在基礎數學中的套用》是依託四川大學，由張斌擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：重整化理論在基礎數學中的套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：張斌
• 依託單位：四川大學

項目摘要

我們這一研究項目計畫以重整化方法來從代數上來探討多元zeta函式值的結構，同時作為研究多元zeta函式值和Gromov-Witten不變數的準備，討論Frobenious流形的構造和其高虧格勢的構造，以及多元zeta函式值和Frobenious流形之間可能的聯繫。前幾年對重整化方法的研究運用使得我們對這一方法在基礎數學中套用有了較好的把握。在這一階段，我們計畫採用重整化理論研究的具體問題有：方向多元zeta函式值stuffle關係的含義，錐上多元zeta函式值的結構，錐上多元zeta函式值和多元zeta函式值的關係，Drifled有理結合子的構造，有Feymann圖來構造Frobenious流形，Frobenious流形高虧格勢的表達，條形樹的Hopf代數和Feymann圖的Hopf代數的關係。

結題摘要

本項目計畫以重整化方法來研究多元zeta 函式值和Frobenius流形，以及它們可能的關係，基本想法是套用和推廣Connes-Kreimer的重整化框架，試圖實現方法上的創新和解決相關問題。項目執行階段的研究基本按照計畫展開，中間略有修改，我們增加了張量的E-特徵多項式的研究，而原計畫中的有關Drinfled 有理結合子和Frobenius流形的高虧格勢探討因為時間關係沒有涉及。本項目執行期間取得的進展概括為如下方面：一：與錐和Feynman圖相關的代數結構研究，我們定義了錐生成的線性空間上的余乘結構，由此給出了錐生成的線性空間上的Hopf代數結構，同時我們討論了錐的剖分結構，及它和其他代數結構的關係，證明了關鍵結果：錐生成的線性空間(模去剖分關係)和簡單分式空間的等價，由此Feynman圖生成的線性空間可以看成錐生成的線性空間的子空間；二，多元zeta 函式值的代數結構的探討，我們把多元zeta 函式值推廣為錐上多元zeta 函式值，由此把多元zeta函式值的雙洗牌關係解釋為錐的雙剖分關係；三，由重整化建立Euler-Maclaurin公式的研究，我們推廣了Connes-Kreimer的重整化框架，並將其套用於錐生成的線性空間，從而得到了一類廣義的Euler-Maclaurin公式；四，由Feynman圖來構造Frobenius流形的研究，Feynman法則可以看成Frobenius流形之間的形式變換；五，Orbifold上同調群的結構的討論，尹曉琴建立了orbifold上同調的inverse transgression映射，由此幾何地證明了orbifold上帶聯絡的gerbe的holonomy線叢給出了inertia orbifold上的inner local system；六，張量的E-特徵多項式的研究，我們給出了2維空間上張量的E-特徵多項式的首項係數。本項目本階段的研究取得了比較滿意的結果，部分結果被整理成3篇發表的論文（其中一篇被Advances in Mathematics接受），以及arXiv上的1篇預印本，其餘結果還在整理中。