達朗貝爾原理

達朗貝爾原理（D'Alembert's principle）是求解約束系統動力學問題的一個普遍原理，由法國數學家和物理學家J.達朗貝爾於1743年提出。

達朗貝爾在《動力學》一書中，提出了達朗貝爾原理，與牛頓第二定律相似，但其發展在於可以把動力學問題轉化為靜力學問題處理，還可以用平面靜力的方法分析剛體的平面運動，這一原理使一些力學問題的分析簡單化，而且為分析力學的創立打下了基礎。達朗貝爾還對當時運動量度的爭論提出了自己的看法，他認為兩種量度是等價的，並提出了物體動量的變化與力的作用時間有關。達朗貝爾第一次用微分方程表示場，同時提出了著名的達朗貝爾原理——流體力學的一個原理，雖然存在一些問題，但是達朗貝爾第一次提出了流體速度和加速度分量的概念。達朗貝爾的力學知識為天文學領域做出了重要貢獻。同時達朗貝爾發現了流體自轉時平衡形式的一般結果，關於地球形狀和自轉的理論。

基本介紹

• 中文名：達朗貝爾原理
• 外文名：D'Alembert's principle
• 表達式：F+N+（-Ma）=0
• 提出者：達朗貝爾
• 提出時間：1743
• 套用學科：物理
• 適用領域範圍：力學

原理的表述

達朗貝爾原理因其發現者法國物理學家與數學家J·達朗貝爾而命名。達朗貝爾原理闡明，對於任意物理系統，所有慣性力或施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總和等於零。

或者說，作用於一個物體的外力與動力的反作用之和等於零。

受約束的非自由質點受有主動力F及約束力F_N，如果再加上虛構的慣性力F_I=－ma，則下式成立：

F+F_N+F_I=0 （1）

即在質點運動的任一時刻，主動力、約束力與慣性力構成平衡力系。上式為質點的達朗貝爾原理。對質點系，如果在每個質點上都加上虛構的慣性力F_Ii=－m_ia_i，則質系中每個質點均處於平衡，即：

達朗貝爾原理公式

F_i+F_Ni+F_Ii=0（i=1,2,…,n） （2）

達朗貝爾最初提出的原理與式（1）不同。把主動力F分為兩部分：F⁽¹⁾使質點產生加速度，F⁽¹⁾=ma，稱為有效力；F⁽²⁾=F－F⁽¹⁾克服約束力。

對改變質點的運動狀態不起作用，稱為損失力。損失力與約束力平衡：

F⁽²⁾+F_N=0

這就是達朗貝爾原理，它與質點靜止時的平衡方程F+F_N=0形式上一致。如果將前面F⁽¹⁾、F⁽²⁾的表達式代入達朗貝爾原理，就得到：

F+F_N+(－ma)=0

與式（1）相同，它們均與牛頓第二運動定律等價。

原理的意義

達朗貝爾原理是研究有約束的質點系動力學問題的原理。對於質點系內任一個質點，此原理的表達式為：

F+F_N+(－ma)=0

從形式上看 ， 上式與從牛頓運動方程F+F_N=ma中把ma移項所得結果相同。於是把－ma看作慣性力而把達朗貝爾原理表述為：在質點受力運動的任何時刻，作用於質點的主動力、約束力和慣性力互相平衡。

從數學上看，達朗貝爾原理只是牛頓第二運動定律的移項，但原理中卻含有深刻的意義。這就是通過加慣性力的辦法將動力學問題轉化為靜力學問題。亦即所有動力學中的定理通過引入慣性力的概念轉化成靜力學中的平衡關係，而且求解過程中可充分使用靜力學的各種解題技巧。一些動力學現象亦可從靜力學的觀點作出簡潔的解釋。這就形成了求解動力學的靜力學方法，簡稱動靜法。這種方法在工程技術中獲得了廣泛的套用。此外，在分析力學中，將被稱為靜力學普遍方程的虛功原理與達朗貝爾原理相結合，就得到動力學普遍方程，它是處理非自由質點系的最基本方程，是分析動力學的基礎。

達朗貝爾原理簡化公式

把－m_ia_i看成慣性力並把式(1)看成平衡(實際不平衡)的觀點所引入的動靜法和機械學中的動平衡，對力學的發展則發生積極的影響。事實上，在跟著質點運動的非慣性坐標系的觀察者認為，慣性力是存在的，而且可以測量。例如在垂直方向加速上升的火箭中的太空人，他對座位壓力大於重力。

愛因斯坦創立的廣義相對論認為慣性力完全與萬有引力等價；愛因斯坦用升降機說明兩者是不能區分的。因此，從廣義相對論的角度看，慣性力是真實的力。