儘管傅立葉變換及其離散形式DFT已經成為信號處理，尤其是時頻分析中最常用的工具，但是，傅立葉變換存在信號的時域與頻域信息不能同時局部化的問題。故Dennis Gabor於1946年引入短時傅立葉變換（Short-Time Fourier Transform）。短時傅立葉變換的基本思想是：把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。
基本介紹
- 中文名：連續小波變換
- 外文名：Continuous wavelet transform
- 套用學科：通信
原理,
短時傅立葉變換（STFT）其視窗函式 通過函式時間軸的平移與頻率限制得到，由此得到的時頻分析視窗具有固定的大小。對於非平穩信號而言，需要時頻視窗具有可調的性質，即要求在高頻部分具有較好的時間解析度特性，而在低頻部分具有較好的頻率解析度特性。為此特引入視窗函式 ，並定義變換 。其中，a R且a≠0。該式定義了連續小波變換，a為尺度因子，表示與頻率相關的伸縮，b為時間平移因子。
很顯然，並非所有函式都能保證上式中表示的變換對於所有f∈L2(R)均有意義；另外，在實際套用尤其是信號處理以及圖像處理的套用中，變換隻是一種簡化問題、處理問題的有效手段，最終目的需要回到原問題的求解，因此，還要保證連續小波變換存在逆變換。同時，作為視窗函式，為了保證時間視窗與頻率視窗具有快速衰減特性，經常要求函式ψ(x)具有如下性質： ≤ ， ≤ 其中，C為與x，無關的常數，ε>0。
原理
1.1連續小波基函式
所謂小波(wavelet)，即存在於一個較小區域的波。小波函式的數學定義是：設ψ(t)為一平方可積函式，即ψ(t)∈L2(R)，若其傅立葉變換Ψ(ω)滿足條件：
則稱ψ(t)為一個基本小波或小波母函式，並稱上式是小波函式的可允許條件。
根據小波函式的定義，小波函式一般在時域具有緊支集或近似緊支集，即函式的非零值定義域具有有限的範圍，這即所謂“小”的特點；另一方面，根據可允許性條件可知Ψ(ω)|ω=0=0，即直流分量為零，因此小波又具有正負交替的波動性。下圖為一個小波的例子。
將小波母函式ψ(t)進行伸縮和平移，設其伸縮因子(亦稱尺度因子)為a，平移因子為τ，並記平移伸縮後的函式為ψa，r(t)，則：
並稱ψa，r(t)為參數為a和τ的小波基函式。由於a和τ均取連續變化的值，因此又稱之為連續小波基函式，他們是由同一母函式ψ(t)經伸縮和平移後得到的一組函式系列。
連續小波基函式的一個重要性質是視窗面積不隨參數a、τ而變，它是小波母函式的時、頻視窗寬度Δt和Δω的積。這正是海森堡測不準原理指出的：Δt、Δω的大小是互相制約的，乘積ΔtΔω≥1/2，並且僅當函式ψ(t)為高斯函式時等號成立。將不同a、τ值下的時、頻域視窗繪在同一個圖上，就得到小波基函式的相平面，如下圖。小波的這一性質是時頻分析的重要依據。
1.2連續小波變換
將L2(R)空間的任意函式f(t)在小波基下進行展開，稱其為函式f(t)的連續小波變換CWT，變換式為
式中：<·>表示內積運算。當所用小波的允許性條件成立時，其逆變換存在。
其中Cψ
即為ψ(t)的允許性條件。
根據CWT的定義可知，小波變換同傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，稱WTf(a，τ)為小波變換係數。由於小波基具有尺度和位移兩個參數，因此將在小波基展開意味著將一個時間函式投影到二維的時間-尺度相平面上。而且由於小波基本身所具有的特點，函式投影到小波變換域後，有利於提取某些特徵。
與傅立葉變換不同，連續小波基函式構成了一組非正交的過度完全基。即任意函式的小波展開係數之間存在相關性。若用Kψ表示兩個基函式ψ(a，τ)及ψ(a’，τ’)的相關性的大小，則：
Kψ表征了連續尺度、時移為半平面(a，τ)上的兩個不同點之間的CWT係數的相關性，也稱之為再生核或重建核。
