在數學中，曲線積分是積分的一種。積分函式的取值沿的不是區間，而是特定的曲線，稱為積分路徑。曲線積分有很多種類，當積分路徑為閉合曲線時，稱為環路積分或圍道積分。曲線積分可分為：第一類曲線積分和第二類曲線積分。
基本介紹
- 中文名：曲線積分
- 外文名：Line Integral
- 基本簡介：∫ρ(x,y)ds叫對弧長的曲線積分
- 定義：弧長曲線積分也叫第一類曲線積分
- 類別：第一、二類曲線積分
- 套用：重力場或電場等
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引例
先看一個例子：設有一曲線形構件占xOy面上的一段曲線 ，設構件的密度分布函式為ρ(x,y)，設ρ(x,y)定義在L上且在L上連續，求構件的質量。對於密度均勻的物件可以直接用ρV求得質量；對於密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對弧長的曲線積分。
定義
設L為xOy平面上的一條光滑的簡單曲線弧，f(x，y)在L上有界，在L上任意插入一點列
把L 分成 n個小弧段
的長度為ds，又
是L上的任一點，作乘積
，並求和即
，記λ=max(ds) ，若
的極限在當λ→0的時候存在，且極限值與L的分法及
在L的取法無關，則稱極限值為f(x，y)在L上對弧長的曲線積分，記為：
；其中f(x，y)叫做被積函式，L叫做積分曲線，對弧長的曲線積分也叫第一類曲線積分。
（上述定義並不完全嚴謹，給出新的定義）：在矢量場A中，任取一連線點P0與P1的光滑曲線c，此時向量OP0記作R0，向量OP1記作R1，用ΔR表示位於曲線C的切線上，以切點為始點而模
(其中ΔR為粗體）等於弧元ΔR的小矢量，作標積
，A是ΔR始點的矢量，
是A在弧的切線
上的投影。將所有弧元ΔR的標積相加，並使弧元數量無限制增加且使得每一弧元長度趨向於0，求U的極限，所以
。稱U為矢量A沿曲線c的曲線積分。
分類
曲線積分分為：
（1）對弧長的曲線積分 （第一類曲線積分）
（2）對坐標軸的曲線積分（第二類曲線積分）
兩種曲線積分的區別主要在於積分元素的差別；對弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素ds；例如：對L的曲線積分∫f(x,y)*ds 。對坐標軸的曲線積分的積分元素是坐標元素dx或dy，例如：對L’的曲線積分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是對弧長的曲線積分由於有物理意義，通常說來都是正的，而對坐標軸的曲線積分可以根據路徑的不同而取得不同的符號。
相關概念
積分聯繫
在曲線積分中，被積的函式可以是標量函式或向量函式。積分的值是路徑各點上的函式值乘上相應的權重（一般是弧長，在積分函式是向量函式時，一般是函式值與曲線微元向量的標量積）後的黎曼和。帶有權重是曲線積分與一般區間上的積分的主要不同點。物理學中的許多簡單的公式（比如說）在推廣之後都是以曲線積分的形式出現（
）。曲線積分在物理學中是很重要的工具，例如計算電場或重力場中的做功，或量子力學中計算粒子出現的機率。
