基本介紹
- 中文名：超橢圓曲線
- 外文名：hyperelliptic curve
- 基本形式：y^2+h(x)y=f(y)
- 套用：超橢圓曲線密碼
簡介,判定,套用,
簡介
超橢圓曲線是仿射曲線
的非奇異射影模型，這裡f(x)是一個沒有重根的次數為奇數n的多項式（偶次數2k的情形可歸結為奇次數2k-1的情形）。超橢圓曲線的函式域（超橢圓函式域）是有理函式域的二次擴張；從這個意義上講它是除了有理函式域之外的最簡單的代數函式域。
虧格為2的曲線必定是超橢圓曲線。 超橢圓曲線的曲線自同構群Aut(C)包含一個對合映射，從而誘導出到P1的二次覆蓋，對合映射的不動點恰好就是二次覆蓋的分歧點。Aut(C)可以由P1的曲線自同構群誘導出來。對於域K，虧格為g超橢圓曲線的基本形式是
，其中f(x)為2g+1次多項式，h(x)是次數小於等於g的多項式。多項式的係數都在K上。
判定
超橢圓曲線由二次除子的一堆線性系
的存在性所判定。
這樣的線性系定義了一個該曲線到射影直線上的二次態射。超橢圓曲線的虧格為
時，對不同的奇數n這些超橢圓曲線不雙有理等價。
當n=1時是射影直線；
當n=3時是橢圓曲線，按慣例虧格0和1的曲線不稱為超橢圓曲線。
在虧格
的超橢圓曲線上正則微分形式之比生成一個虧格0度子域；這一性質完全刻畫了超橢圓曲線。
套用
超橢圓曲線在密碼學中有很大的套用。
美國華盛頓大學教授Neal Koblitz首先發明了超橢圓曲線密碼。超橢圓曲線密碼是利用超橢圓曲線C的Jacobian上的離散對數問題(HECDLP)的“不可行性”。但是只有虧格為2的超橢圓曲線密碼的安全性能和橢圓曲線密碼的安全性媲美。無論是域K過小或者虧格g過大都會使得超橢圓曲線密碼不安全。
