赫爾德條件

數學上，稱\R^n上的實值函式f適合赫爾德條件，或稱赫爾德連續。

基本介紹

• 中文名：赫爾德條件
• 外文名：Holder condition 
• 提出人：奧托·赫爾德
• 套用領域：微積分
• 學科：數理科學

簡介

數學上，稱上的實值函式適合赫爾德條件，或稱赫爾德連續，當存在非負常數，，使得,

這條件可以推廣至任何兩個度量空間之間的函式。稱為赫爾德條件的指數。如果，則函式適合利普希茨條件。如果，則函式不過是有界的。

由適合某個赫爾德條件的函式組成的赫爾德空間，在泛函分析有關解偏微分方程的領域有基本地位。記為某個歐幾里得空間的開集，赫爾德空間所包含的函式，是直到n階微分都適合指數的赫爾德條件。

赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自奧托·赫爾德(Otto Hölder)。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式：

設S為測度空間，，及，設f在內，g在內。則在內，且有

。

若S取作附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數），有

。

我們稱p和q互為赫爾德共軛。

若取S為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。

當p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫爾德不等式可以證明空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明空間是空間的對偶。

備註

在赫爾德共軛的定義中，1/∞意味著零。

如果1 ≤ p，q < ∞，那么和表示（可能無窮的）表達式：

以及

如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上確界，||g||∞也類似。

在赫爾德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味著 0。把a > 0乘以∞，則得出 ∞。

證明

赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。

如果||f ||p = 0，那么f μ-幾乎處處為零，且乘積fg μ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||q = 0也是這樣。因此，我們可以假設||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端為無窮大。因此，我們可以假設||f ||p和||g||q位於(0,∞)內。

如果p = ∞且q = 1，那么幾乎處處有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p = 1和q = ∞，情況也類似。因此，我們還可以假設p, q ∈ (1,∞)。

分別用f和g除||f ||p||g||q，我們可以假設：

我們使用楊氏不等式：

對於所有非負的a和b，若且唯若ap = bq時等式成立。因此：

兩邊積分，得：

這便證明了赫爾德不等式。

在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假設下，等式成立若且唯若幾乎處處有|f |p = |g|q。更一般地，如果||f ||p和||g||q位於(0,∞)內，那么赫爾德不等式變為等式，若且唯若存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得：

。

例子

如果，那么所有赫爾德連續函式都是赫爾德連續的。這也包括了(這裡需要集合是有界的)，所以所有利普希茨連續函式都是赫爾德連續。

在上定義函式，不是利普希茨連續；但對，是赫爾德連續。