基本介紹
猜想提出,猜想內容,歷史研究,接力證明,懸賞求證,莫德爾猜想,谷山豐猜想,證明完成,證明者簡介,社會評價,年表,
猜想提出
費馬大約1637年左右，法國學者費馬在閱讀丟番圖（Diophatus）《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”
（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）
畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的內容，推動了數論的發展。
猜想內容
當整數
時，關於
的方程
沒有正整數解。
歷史研究
接力證明
1753年瑞士著名數學家歐拉，在給哥德巴赫的信中說，他證明了n=3時的費馬猜想，1770年其證明發表在《代數指南》一書中，方法是“無限下降法”和形如
數系的唯一因子分解定理，這一方法也被後人多次引用。
1816年巴黎科學院把費馬猜想轉化簡化歸結為n是奇素數的情況，認為費馬猜想應該成立，並稱為為費馬大定理（以區別費馬關於同餘的小定理），並為證明者設立大獎和獎章，費馬大定理之謎從此進一步風靡全球。
費馬自己證明了n=4的情形。
十九世紀初法國自學成才的女數學家熱爾曼證明了當n和2n+1都是素數時費馬大定理的反例x，y，z至少有一個是n整倍數。在此基礎上，1825年德國數學家狄利克雷和法國數學家勒讓德分別獨立證明費馬大定理在n=5時成立，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。
1839年，法國數學家拉梅對熱爾曼方法作了進一步改進，並證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結合得很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形；於是，他又在1847年提出了“分圓整數”法來證明，但沒有成功。
1844年，庫默爾提出了“理想數”概念，他證明了：對於所有小於100的素指數n，費馬大定理成立，此一研究告一階段。但對一般情況，在猜想提出的頭二百年內數學家們仍對費馬大定理一籌莫展。
1847年，巴黎科學院上演戲劇性一幕， 當時著名數學家拉梅和柯西先後宣布自己基本證明費馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾複數系中的唯一因子分解定理，劉維爾則說這一定理源自歐拉和高斯的思想。大數學家都被扯入其中，似乎結論十分可靠。就在此時劉維爾宣讀了德國數學家庫默爾的來信，明確指出證明中的複數系的唯一因子分解定理並不普遍成立，於是拉梅和柯西的證明都是錯的。
大約在1850年前後，高斯的學生、德國數學家庫默爾看到唯一因子分解是否成立是歐拉、熱爾曼創立的企圖證明費馬大定理的方法關鍵，於是他創立了一種“理想數環”理論，據說這一思想也受其老師高斯啟發，高斯表面上聲稱對費馬大定理不感興趣，實際上對n=7久思不解。學生庫默爾運用獨創的“理想素數”理論，一下子證明了100以內除37、59、67以外的所有奇數費馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。
庫默爾之後近半個世紀，費馬大定理證明都停滯不前，直到二十世紀前期大數學家勒貝格向巴黎科學院提交了一個費馬大定理的證明論稿，由於勒貝格當時的權威聲望，大家都以為這下問題解決了，但經過廣泛傳閱其證明稿件，人們遺憾地發現大數學家的分析證明還是錯的。
懸賞求證
1908年，哥廷根皇家科學協會公布沃爾夫斯凱爾獎：凡在2007年9月13日前解決費馬大定理者將獲得100000馬克獎勵。提供該獎者沃爾夫斯凱爾是德國實業家，年輕時曾為情所困決意在午夜自殺，但在臨自殺前讀到庫默爾論述柯西和拉梅證明費馬定理的錯誤讓他情不自禁地計算到天明，設定自殺時間過了，他也放不下問題的證明，數學讓他重生並後來成為大富豪，1908年這位富豪死時，遺囑將其一半遺產捐贈設獎，以謝其救命之恩。
從此世界毎年都會有成千上萬人宣稱證明了費馬大定理，但全部都是錯的，一些數學權威機構，不得不預寫證明否定書。
莫德爾猜想
1922年，英國數學家莫德爾提出一個著名猜想，人們叫做莫德爾猜想．按其最初形式，這個猜想是說，任一不可約、有理係數的二元多項式，當它的“虧格”大於或等於2時，最多只有有限個解．記這個多項式為f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限對數偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0。後來，人們把猜想擴充到定義在任意數域上的多項式，並且隨著抽象代數幾何的出現，又重新用代數曲線來敘述這個猜想了。
而費馬多項式
沒有奇點，其虧格為
。當
時，費馬多項式滿足猜想的條件。因此，如果莫德爾猜想成立，那么費馬大定理中的方程本質上最多有有限多個整數解。
二戰後隨著計算機的出現，大量的計算已不再成為問題。藉助計算機的幫助，數學家們對500以內，然後在1000以內，再是10000以內的值證明了費馬大定理，到80年代，這個範圍提高到25000，然後是400萬以內。
谷山豐猜想
1955年，日本數學家谷山豐首先猜測橢圓曲線與另一類數學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在著某種聯繫；谷山的猜測後經韋依和志村五郎進一步精確化而形成了所謂“谷山—志村猜想”，這個猜想說明了：有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白，但它又使“費馬大定理”的證明向前邁進了一步。
1958年英國數學家Birch和Swinnerton--Dyer構造了橢圓曲線E的L（E，s）函式，他們對該函式在s=1處的零點與橢圓曲線E上的有理點關係給出了一個簡稱BSD猜想。
1986年美國加州大學伯克利分的肯.里貝特教授，為證明弗雷命題己奮鬥了十八個月，曾親耳聽到弗雷當年演講的里貝特深信自己能證明弗雷命題，但久攻未克，這年夏天哈佛大學教授巴里.梅袓爾來伯克利訪問並參加國際數學家大會，有一次里貝特與他起喝咖啡，便研討起弗雷命題，梅袓爾的一個提醒讓里貝特恍然大悟，里貝特隨即完成了弗雷命題的證明，並當即在這屆國際數學家大會內外傳開。世界數學界為之興奮。
證明完成
1986年，英國數學家安德魯·懷爾斯聽到里貝特證明弗雷命題後，感到攻克費馬大定理到了最後攻關階段，並且這剛好是他的研究領域，他開始放棄所有其它活動，精心疏理有關領域的基本理論，為此準備了一年半時間把橢圓曲線與模形式通過伽羅瓦表示方法“排隊”。接下來的要將二種“排隊”序列對應配對，這一步他二年無進展。此時他讀博時學的岩澤理論一度取得實效，到1991年他之前的導師科茨告訴他有位叫弗萊切的學生用蘇聯數學家科利瓦金的方法研究橢圓曲線，這一方法使其工作有重大進展。
安德魯·懷爾斯
安德魯·懷爾斯1993年6月在劍橋牛頓學院要舉行一個名為“L函式和算術”的學術會議，組織者之一正是懷爾斯的博士導師科茨，於是在1993年6月21日到23日懷爾斯被特許在該學術會上以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題，分三次作了演講。聽完演講人們意識到谷山---志村猜想已經證明。由此把法爾廷斯證明的莫德爾猜想、肯.里貝特證明的弗雷命題和懷爾斯證明的谷山---志村猜想聯合起來就可說明費馬大定理成立。其實這三個猜想每一個都非常困難，問題是懷爾斯最後證明，他變為完成費馬大定理證明的最後一棒。
1993年6月23日從劍橋牛頓學院傳出費馬大定理被證明之後，世界媒體普天蓋地般報導了該喜訊。
但此刻數學界反倒十分冷靜，明確指論證還需仔細審核，因為歷史上曾多少次宣布證明但後來被查證錯誤。懷爾斯的證明被分為6個部分分別由6人審查，其中第三部分由凱茲負責的查出關於歐拉系的構造有嚴重缺陷，使科利瓦金---弗萊切方法不能對它適用，懷爾斯對無能為力，1993年12月懷爾斯公開承認證明有問題，但表示很快會補正。一時間懷爾斯的證明被認為是歷史上拉梅、柯西、勒貝格、里貝特（里貝特也曾稱證明了谷山--志村猜想）錯誤證明的又一例子。1994年1月懷爾斯邀請劍橋大學講師理察.泰勒到普林斯頓幫他完善科利瓦金--弗萊切方法解決問題，但整整8個月過去，問題沒有解決。泰勒準備再一個月回劍橋，然後懷爾斯正式公布手稿，承認證明失敗，1994年9月19日懷爾斯想自己證明失敗原因該怎么寫，回顧自己是先用岩澤理論未能突破而後用科利瓦金---弗萊切方法，又該法對一類特殊歐拉系出了問題，這樣一想，突然又想到何不再用岩澤理論結合科利瓦金---弗萊切方法試試？問題解法就是這樣，懷爾斯絕地逢生，修補了漏洞。1994年10月25日11點4分11秒，懷爾斯通過他以前的學生、美國俄亥俄州立大學教授卡爾.魯賓向世界數學界發了費馬大定理的完整證明郵件，包括一篇長文“模橢圓曲線和費馬大定理”，作者安德魯.懷爾斯。另一篇短文“某些赫克代數的環論性質”作者理察.泰勒和安德魯.懷爾斯。至此費馬大定理得證。
1995年，他們把證明過程發表在《數學年刊》（Annals of Mathematics）第141卷上，證明過程包括兩篇文章，共130頁，占滿了全卷，題目分別為Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem（模形橢圓曲線和費馬大定理）以及Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras（某些赫克代數的環理論性質）。
證明者簡介
安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles），英國著名數學家、牛津大學教授、美國科學院外籍院士。現在任教於英國牛津大學。
1996年3月，懷爾斯獲得沃爾夫獎(Wolf Prize)和5萬美金。
1996年6月，當選為美國國家科學院外籍院士並獲該科學院數學獎；
1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯凱爾10萬馬克懸賞大獎，就在哥廷根皇家科學協會規定期只剩下10年的時候沃爾夫斯凱爾當年遺願終於實現。
1999年，他榮獲首屆克萊數學研究獎 (Clay Research Award)。
2000年，懷爾斯被授勳為爵士。
2005年，懷爾斯又榮獲有“東方諾貝爾獎”之稱的邵逸夫數學科學獎(Shaw Prize)，獎金100萬美金。
2005年8月29日，安德魯·懷爾斯第一次踏上中國的土地，這甚至是他第一次來到亞洲。北京大學數學院院長張繼平、副院長劉化榮，中科院院士田剛、張恭慶、姜伯駒、丁偉岳、文蘭等陪同他參觀中國。
2016年3月15日，挪威自然科學與文學院宣布將2016年阿貝爾獎(Abel Prize) 授予牛津大學的安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles) 教授，獎金約600萬挪威克朗(約465萬元人民幣)，表彰他令人震驚的費馬大定理證明。
其他榮譽還包括羅夫·肖克獎 (Rolf Schock Prize)、奧斯特洛斯基獎 (Ostrowski Prize)、英國皇家學會皇家獎章 (Royal Medal of the Royal Society)、美國國家科學院數學獎 (U.S. National Academy of Science’s Award in Mathematics) 等。
社會評價
史上最精彩的一個數學謎題。
證明費馬大定理的過程是一部數學史。
費馬大定理起源於三百多年前，挑戰人類3個世紀，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最傑出大腦的精力，也讓千千萬萬業餘者痴迷。
這是“20世紀最輝煌的數學成就”。（中科院院士、北大數學院教授姜伯駒，評價安德魯·懷爾斯對費馬大定理的證明）
年表
1637年，費馬在書本空白處提出費馬猜想。
1770年，歐拉證明n=3時定理成立
1823年，勒讓德證明n=5時定理成立。
1832年，狄利克雷試圖證明n=7失敗，但證明 n=14時定理成立。
1839年，拉梅證明n=7時定理成立。
1850年，庫默爾證明2<n<100時除37、59、67三數外定理成立。
1955年，范迪維爾以電腦計算證明了 2<n<4002時定理成立。
1976年，瓦格斯塔夫以電腦計算證明 2<n<125000時定理成立。
1985年，羅瑟以電腦計算證明2<n<41000000時定理成立。
1987年，格朗維爾以電腦計算證明了 2<n<101800000時定理成立。
1995年，懷爾斯證明 n>2時定理成立。
