猜想(數學術語)

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猜想(或稱猜測、假設等),這些猜想有的被驗證為正確的,並成為定理;有的被驗證為錯誤的;還有一些正在驗證過程中。

基本介紹

  • 中文名:猜想
  • 外文名:guess
  • 性質:數學術語
  • 含義:被建議為真,暫時未被證明或反證
  • 類型數學敘述
猜想的基本解析,不能決定的猜想,數學猜想的意義,

猜想的基本解析

數學猜想(或猜測)是不知其真假的數學敘述,它被建議為真,暫時未被證明或反證(如“霍奇猜想”、“周氏猜測”、“哥德巴赫猜想”、”黎曼猜想“等)。當猜想被證明後,它便會成為定理。猜想一日未成為定理,數學家都要小心在邏輯結構之中使用這些猜想。
猜想主要因為類比推理和偶然發現的巧合而出現。數學家通常會使用不完全歸納法,來測試自己的猜想。例如費馬曾經根據首四個費馬數素數,便猜想所有費馬數都是素數(此猜想已被推翻)。某些猜想會稱為“假設”,尤其是當它是針對某些問題提出的答案。

不能決定的猜想

並非所有的猜想都能解決。連續統假設已被顯示為不能決定(或獨立)於集合論公理體系。可以將此陳述或其反例作為一個新的體系而保持一致(例如我們可以視平行公理或真或假)。在這個情況,如果某個證明使用了這個陳述,研究者通常會找尋另一個不須假設的解(同樣道理,想像一件誘人的事情——歐幾理德幾何的陳述可以只用中立幾何的公理來證明,那就是沒有平行公理)。除非是專注研究這個公理,研究者通常不必擔心結果要不要選擇公理。
命題題設出發,經過逐步推理,來判斷命題的結論是否正確的過程,叫做證明。
要證明一個命題是真命題,就是證明凡符合題設的所有情況,都能得出結論。要證明一個命題是假命題,只需舉出一個反例說明命題不能成立。

數學猜想的意義

數學猜想是以一定的數學事實為根據,包含著以數學事實作為基礎的可貴的想像成分;沒有數學事實作根據,隨心所欲地胡猜亂想得到的命題不能稱之為“數學猜想”。數學猜想通常是套用類比、歸納的方法提出的,或者是在靈感中、直覺中閃現出來的。例如,中國數學家和語言學家周海中根據已知的梅森素數及其排列,巧妙地運用聯繫觀察法和不完全歸納法,於1992年正式提出了梅森素數分布的猜想(即周氏猜測)。這一猜想加深了人們對特殊素數性質的認識。
數學猜想一般都是經過對大量事實的觀察、驗證、類比、歸納、概括等而提出來的。這種從特殊到一般,從個性中發現共性的方法是數學研究的重要動力。數學猜想的提出與研究,生動地體現了辯證法在數學中的套用,極大地推動了數學方法論的研究。此外,數學猜想往往成為數學發展水平的一項重要標誌:費馬猜想產生了代數數論;龐加萊猜想有助於人們更好地研究三維空間;哥德巴赫猜想促進了篩法和圓法的發展,尤其是發現了殆素數、例外集合、小變數的三素數定理等;黎曼假設使素數定理得到證明以及橢圓曲線技術套用於加解密、數字簽名、密鑰交換、大數分解和素數判斷等;四色問題通過電子計算機得以解決,從而開闢了機器證明的新時代。從這個意義上講,數學猜想不僅是一顆顆“璀璨艷麗的寶石”,而且是一隻只“能生金蛋的母雞”。

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