貝爾代數

貝爾代數是一種特殊的布爾代數。拓撲空間 X 的一個子集 a 有貝爾性質，是指存在 X 的一個開集 u 使得對稱差 a∆u 是一個貧集，即可數多個無處稠密集的並集。

基本介紹

• 中文名：貝爾代數
• 外文名：Baire algebra
• 適用範圍：數理科學

定義介紹

貝爾代數是一種特殊的布爾代數。

性質

拓撲空間 X 的一個子集 a 有貝爾性質，是指存在 X 的一個開集 u 使得對稱差 a∆u 是一個貧集，即可數多個無處稠密集的並集。

用初等拓撲方法不難證明集合 有貝爾性質 } 是 X 上集合的 σ 代數稱為 X 的貝爾代數。上述內容由貝爾(Baire,R. L.)提出。

布爾代數

布爾代數起源於數學領域，是一個用於集合運算和邏輯運算的公式：〈B，∨，∧，¬ 〉。其中B為一個非空集合，∨，∧為定義在B上的兩個二元運算，¬為定義在B上的一個一元運算。

通過布爾代數進行集合運算可以獲取到不同集合之間的交集、並集或補集，進行邏輯運算可以對不同集合進行與、或、非。

布爾代數也可簡記為B=〈B，+，·，′〉.在不致混淆的情況下，也將集合B稱作布爾代數.布爾代數B的集合B稱為布爾集，亦稱布爾代數的論域或定義域，它是代數B所研究對象的全體.一般要求布爾集至少有兩個不同的元素0和1，而且其元素對三種運算+，·，′ 都封閉，因此並非任何集合都能成為布爾集.在有限集合的情形，布爾集的元素個數只能是2n，n=0，1，2，…二元運算+稱為布爾加法，布爾和，布爾並，布爾析取等；二元運算·稱為布爾乘法，布爾積，布爾交，布爾合取等；一元運算 ′ 稱為布爾補，布爾否定，布爾代數的余運算等.布爾代數的運算符號也有別種記法，如∪，∩，-;∨，∧，?等.由於只含一個元的布爾代數實用價值不大，通常假定0≠1，稱0為布爾代數的零元素或最小元，稱1為布爾代數的單位元素或最大元.布爾代數通常用亨廷頓公理系統來定義，但也有用比恩公理系統或具有0與1的有補分配格等來定義的。