行列式映射

行列式映射

行列式映射(determinant map)是交換環的K0到皮卡群的一種映射。設R為交換環,行列式映射為K0(R)到Pic R的一個群的滿同態。

基本介紹

  • 中文名:行列式映射
  • 外文名:determinant map
  • 領域:數學
  • 學科:環論
  • 性質:映射
  • 定義:交換環到皮卡群
概念,環論,皮卡群,

概念

行列式映射(determinant map)是交換環的K0到皮卡群的一種映射。設R為交換環,行列式映射為K0(R)到Pic R的一個群的滿同態。由K0(R)對H0(R)的分解式K0(R)H0(R)⊕rK0(R)知,有單同態θ:H0(R)→K0(R),使對任何f∈H0(R):Spec R→Z,都有相應於f的正交冪等元分解1=e1+e2+…+er。若f(D(Rei))=ni,其中D(Rei)為不包含Rei的R之素理想集合,則:
。對任意的有限生成投射R模M,若:
且[M]↦〈∧N〉,其中∧表n次外乘冪而n=max nj,則有行列式映射det:K0(R)→Pic R,其中Pic R為R的皮卡群。行列式映射det也是函子K0和Pic間的自然變換,即g:R→S為環同態時,

環論

抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算,使得R中任意元a,b,c適合條件:
1.R對加法為交換群,稱為R的加法群,記為(R,+);
2.R對乘法適合結合律,即(R,·)是半群,稱為R的乘法半群;
3.乘法對加法的左、右分配律成立,即a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律),(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);
則稱R為結合環,簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象.環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類,以及戴德金(Dedekind,J.W.R.)、哈密頓(Hamilton,W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn,J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式,也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代,諾特(Noether,E.)建立了環的理想理論,阿廷(Artin,E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時,對非極小條件的環,馮·諾伊曼(von Nenmann,H.)建立了正則環理論,相繼蓋爾范德(Гельфанд,И.М.)創立了賦值環,克魯爾(Krull,W.)建立了局部環理論,以及哥爾迪(Goldie,A.W.)完善了極大條件環理論。
20世紀40年代,根論迅速發展,尤其是雅各布森(Jacobson,N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後,建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理,完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期,阿密蘇(Amitsur,S.A.)、庫洛什(Kurosh,A.)創立了根的一般理論,環論已趨完善。
另一方面,由群表示研究的影響,產生模、群環與分次環的理論.20世紀20年代初,諾特引入了模的概念,並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係,用模的語言去刻畫環,特別是20世紀50年代以後,同調代數的迅速發展,使環的理論進入更高層次雖然,早在1854年,凱萊(Cayley,A.)就引入了群代數,然而,它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代,受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代後,由於分次代數的推動,群代數進入新的階段——交叉積的研究。分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇,20世紀70年代以來,由於非交換代數幾何及群表示論的推動,環論已進入一個新的階段。
若環R的乘法適合交換律,則稱R為交換環.乘法半群的左(右)單位元,稱為環R的左(右)單位元。乘法半群的單位元稱為環R的單位元。(R,+)的零元稱為環R的零元。在一個元構成的環中,零元是單位元,但兩個以上的元構成的環中,零元一定不是單位元.環R的一個非空子集合S,若對R的加法、乘法也構成環,則稱S是R的子環。S是R的子環若且唯若對任意a,b∈S恆有a-b∈S,ab∈S。
比結合環條件較弱的是非結合環,非結合環與代數受量子力學的刺激發展起來,但其研究的方法和思路基本上沿著結合環的格式,並早已趨完整.比結合環更弱的環類是擬環與半環,雖然早在20世紀40年代,就分別由扎森豪斯(Zassenhaus,H.)和范迪維爾(Vandiver,H.S.)提出,但它們的發展是20世紀60年代以來,受自然科學和數學其他分支(如非線性同調代數、非線性幾何、泛函分析、組合數學、動力系統和計算機科學)的推動而迅速成熟起來的,現已成為環論的獨立分支。

皮卡群

一種阿貝爾群。指由環空間引出的一種群。環空間(X,OX)的可逆層的同構類所成的群。群的運算由可逆層的張量積所誘導。X的皮卡群記為Pic(X)(或PicX),自然同構於上同調群H(X,OX),這裡OX是OX的可逆元構成的層。當X是代數閉域上的光滑代數簇時,Pic(X)是一個代數群,它的零連通分支Pic(X)是一個阿貝爾簇,稱為皮卡簇。

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