芬斯勒流形

芬斯勒流形(Finsler manifold)亦稱芬斯勒空間，是一種比黎曼流形更廣泛的度量空間。像黎曼流形一樣，芬斯勒流形的兩點之間的距離定義為連線這兩點的曲線弧長的下確界。關於這個距離，芬斯勒流形是度量空間，度量拓撲和原來微分流形拓撲一致，黎曼流形作為度量空間的許多性質可以推廣到芬斯勒空間。

基本介紹

• 中文名：菲勒斯流形
• 外文名：Finsler manifold
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：微分幾何學
• 別名：芬斯勒空間

基本介紹

芬斯勒流形(Finsler manifold)亦稱芬斯勒空間，是一種比黎曼流形更廣泛的度量空間。設是微分流形的一個坐標系，是一條曲線，定義它的弧長為

其中是芬斯勒度量函式，這樣的微分流形稱為芬斯勒流形。是黎曼度量

的推廣。像黎曼流形一樣，芬斯勒流形的兩點之間的距離定義為連線這兩點的曲線弧長的下確界。關於這個距離，芬斯勒流形是度量空間，度量拓撲和原來微分流形拓撲一致，黎曼流形作為度量空間的許多性質可以推廣到芬斯勒空間。黎曼(Riemann，G.F.B.)曾經考慮過以這樣一般化的度量為基礎討論流形，但是他認為用黎曼度量更為適當，芬斯勒( Finsler，P.)於1918年在學位論文中系統地研究了這種推廣的度量，把經典的曲線和曲面論中許多概念和定理推廣過來，嘉當(Cartan，E.)於1933年引進聯絡並得到許多重要結論才使芬斯勒流形幾何理論逐漸完整，陳省身於1990年發現了一個新聯絡，使芬斯勒幾何的發展推向一個新階段，尤其是成功地開展了整體芬斯勒幾何的研究，芬斯勒空間是對線素賦予度量的一種微分流形，作為對偶的概念有嘉當空間，它對超平面素賦予度量，進一步的推廣還有道路空間和K展空間等，統稱為一般空間。芬斯勒流形幾何理論在廣義相對論和其他物理學領域中有許多套用，近年來無限維芬斯勒流形在非線性分析中有重要作用。

芬斯勒度量

芬斯勒度量(Finsler metric)是黎曼度量的一種推廣。若是n維微分流形，是的切叢，上的芬斯勒度量是定義在切叢上滿足下列條件的連續的實值函式F：設是上局部坐標系，是的點的局部坐標，其中是的點x的局部坐標，是在x的切向量y的分量，即

則：

1.在可微；

2.對任意實數

3.以

為元素的矩陣是正定的。

此時，稱為芬斯勒空間，函式F也稱為芬斯勒空間的度量函式.以為分量的張量稱為的度量張量或基本張量，稱為基本形式.當是的二次齊式時，

這個芬斯勒度量是黎曼度量，微分流形上存在芬斯勒度量的充分必要條件是它為仿緊的。