《芬斯勒幾何中兩個整體問題的研究》是依託同濟大學，由陳濱擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：芬斯勒幾何中兩個整體問題的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：陳濱
- 依託單位：同濟大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
整體問題是芬斯勒幾何中的重要研究內容，本項目著重研究其中兩個問題，即特徵值估計與調和映射理論。通過研究等周常數，給出第一特徵值的Cheeger型估計。利用拉普拉斯比較定理，證明鄭紹遠型的特徵值比較定理。通過Ricci曲率、S曲率，討論Lichnerowicz型特徵值下界估計。推廣Li-Yau型的直徑估計。研究常旗曲率Randers空間的第一特徵值。研究一般映射（可能退化）的芬斯勒調和性，改進從球面出發的調和映射的部分剛性結果，證明目標為射影平坦Randers空間的調和映射的剛性。尋找目標流形為(alpha,beta)空間的調和映射存在性條件。上述研究將大大促進芬斯勒幾何的發展，拓展芬斯勒幾何分析領域。芬斯勒特徵值的估計將加深對非線性方程的理解，一般芬斯勒流形間的調和映射存在性將給該領域的研究帶來突破。本課題屬國際前沿學科，將會在諸多領域有重要套用。
結題摘要
本項目主要研究了芬斯勒幾何中調和映射問題、特徵值問題及其具體空間的構造。1. 芬斯勒幾何中的調和映射到存在性。利用Mo-Yang的結果，證明了從可反芬斯勒空間到某類Randers空間的調和映射存在性，這類Randers空間要求旗曲率被S曲率控制。該工作推廣了黎曼幾何中調和映射存在性定理，並且將目標流形推廣到了非黎曼流形，這具有重要意義。2. 討論了從芬斯勒流形到某類球面的穩定調和映射剛性問題。證明了，若球面上賦予的是局部射影平坦的Randers度量，並且其非黎曼部分足夠小，則從任意可反芬斯勒流形到該球面的穩定調和映射一定是常值映射。這推廣了黎曼幾何中關於調和映射的著名剛性定理。3. 討論了第一特徵值與等周常數的關係。區分了內外法向下兩個等周常數，以及保號函式對應的Sobolev常數，證明了它們對應相等。進而給出了第一特徵值的一種Cheeger型估計。利用Sobolev常數，證明了Ricci曲率和S曲率非負的芬斯勒空間中有界區域的特徵值有一個由其直徑描述的正下界。並且，在完備非緊條件下，證明了多項式體積增長的芬斯勒空間的第一特徵值為零。另外在Ricci曲率和S曲率的恰當條件下，將鄭紹遠教授的第一特徵值比較定理推廣到了芬斯勒幾何中。4. 在討論特徵值的過程中，為了構造例子，我們研究了愛因斯坦的芬斯勒度量，給出了二次愛因斯坦度量的局部分類定理。
