基本介紹
- 中文名：至多可數集
- 所屬學科：數學（集合論)
- 簡介：有限集與可數集的統稱
基本介紹,相關定理,例題解析,
基本介紹
自然數集N的基數記作
（讀作“阿列夫零”），若A~N，則稱A為可數集。有限集與可數集統稱為至多可數集，即能夠與自然數集N的某一子集構成一一對應的集，亦即基數不超過 的集。至多可數個至多可數集的和集是至多可數集；有限個至多可數集的直積也是至多可數集。若無限集E不是可數集，則稱E為不可數集。
集合A為可數集若且唯若A= {
}，即A中的元可以用自然數來編號。
相關定理
定理1 任一無限集E必含一個可數子集。
上述定理說明：在無限集的基數中，最小的基數是 。
定理2 N×N是可數集。
不難知道：若A，B是可數集，則直積集A×B也是可數集。一般地，用歸納法可以證明：若每個Ek（k=1，2，3，…，n）是可數集，則直積集E1×E2×…×En也是可數集。
定理3 若每個An（n=1，2，3…）是可數集，則並集
也是可數集。
上述定理也常稱為：可數個可數集之並是可數集。
另外不難證明：若有至多可數個集作並集，且每個集合都是至多可數集，則其並集也是至多可數集。
推論4 R中的有理數集Q是可數集，R中的有理點集Q是可數集。
定理5 若E為無限集，A為至多可數集，則E~E∪A。
證 不妨設E∩A=∅，由定理1，知無限集E有可數子集D。因為A為至多可數集，於是有D~A∪D。於是：
E=（E\D）∪D~（E\D）∪（D∪A）=EUA。
推論6 設E為不可數集，A是E的可數子集，則E~E\A。
證 首先易知E\A不是有限集，因為否則E=（E\A）∪A要為可數集，得矛盾。所以E\A必為無限集，而A是可數集，所以由定理5知E\A~（E\A）∪A=E。
例題解析
例1設Γ是R中的一族開區間，若每個開區間的端點為有理數，則Γ是至多可數集。
證對Γ中的開區間（a，b），令Q×Q中的點（a，b）與之對應，得到從Γ到Q×Q的一個單射，所以
，從而可得Γ是至多可數集。
例2 設Γ是R中的一族開區間，若其中任意兩個開區間互不相交，則Γ是至多可數集。
證 對Γ中的每個開區間I，取定I中的一個有理數作為f（I），則f：Γ→Q是一個單射，所以
，從而可得Γ是至多可數集。
