自然常數

起源

e，作為數學常數，是自然對數函式的底數。有時稱它為歐拉數（Euler number），以瑞士數學家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾（John Napier）引進對數。它就像圓周率π和虛數單位i，e是數學中最重要的常數之一。

它的其中一個定義是

，其數值約為（小數點後100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。

在1690年，萊布尼茨在信中第一次提到常數e。在論文中第一次提到常數e，是約翰·納皮爾（John Napier）於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德（William Oughtred）製作。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）。歐拉也聽說了這一常數，所以在27歲時，用發表論文的方式將e“保送”到微積分。

已知的第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數；而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（Mechanica）。雖然以後也有研究者用字母c表示，但e較常用，終於成為標準。

用e表示的確實原因不明，但可能因為e是“指數”（exponential）一字的首字母。另一看法則稱a，b，c和d有其他經常用途，e則是第一個可用字母。還有一種可能是，字母“e”是指歐拉的名字“Euler”的首字母。

以e為底的指數函式的重要方面在於它的函式與其導數相等。e是無理數和超越數（見林德曼-魏爾斯特拉斯定理，Lindemann-Weierstrass）。這是第一個獲證的超越數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）於1873年證明。

其實，超越數主要只有自然常數（e）和圓周率（π）。自然常數的知名度比圓周率低很多，原因是圓周率更容易在實際生活中遇到，而自然常數在日常生活中不常用。

融合e，π的歐拉公式

，也是超越數e的數學價值的最高體現。