對勾函式

對勾函式是一種類似於反比例函式的一般雙曲函式，是形如f(x)=ax+b/x（a×b>0）的函式。由圖像得名，又被稱為“雙勾函式”、“勾函式”、"對號函式"、“雙飛燕函式”等。因函式圖像和耐克商標相似，也被形象稱為“耐克函式”或“耐克曲線”。

基本介紹

• 中文名：對勾函式
• 外文名：Nike function
• 別稱：勾函式、魚鉤函式、耐克函式、雙勾函式、對號函式、雙飛燕函式等
• 表達式：f(x)=ax+b/x (a>0,b＞0)
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：代數學 函式
• 適用領域範圍：解析幾何

函式定義

所謂的對勾函式（雙曲函式），是形如（a>0，b>0)的函式。

對勾函式

性質

圖像

對勾函式是數學中一種常見而又特殊的函式，見圖示，在作圖時最好畫出漸近線。在第一象限內，其轉折點為

最值

當x>0時，有最小值（這裡為了研究方便，規定a>0，b>0），也就是當時，f(x)取最小值。

奇偶、單調性

奇偶性

對勾函式是奇函式。

單調性

令k=，那么：

增區間：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；減區間：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}

變化趨勢：在y軸左邊先增後減，在y軸右邊先減後增，是兩個勾。

漸近線

對勾函式的圖像是分別以y軸和y=ax為漸近線的兩支曲線，且圖像上任意一點到兩條漸近線的距離之積恰為漸近線夾角(0-180°)的正弦值與|b|的乘積。

對勾函式

註：對勾函式的圖像是雙曲線。實際上該圖像是軸對稱的，並可以通過雙曲線的標準方程通過旋轉角度得到。

均值不等式

對勾函式性質的研究離不開均值不等式。說到均值不等式，其實也是根據二次函式得來的。我們都知道

展開，得 ，即 .

兩邊同時加上2ab，整理得 ，

兩邊開平方，就得到了均值定理的公式：

將 中 看做a， 看做b代入上式，得

這裡有個規定：若且唯若ax=b/x時取到最小值，解出x=sqrt(b/a），對應的f(x)=2sqrt(ab）。我們再來看看均值不等式，它也可以寫成這樣：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均數的公式。那么後面的式子呢？也是平均數的公式，但不同的是，前面的稱為算術平均數，而後面的則稱為幾何平均數，總結一下就是算術平均數絕對不會小於幾何平均數。

導數求解

其實用導數也可以研究對勾函式的性質。不過首先要會負指數冪的換算，這也很簡單，但要熟練掌握。舉幾個例子：,。x為分母的時候可以轉化成負指數冪。那么就有，求導方法一樣，求得的導函式為，令f'(x)=0，計算得到，結果仍然是，如果需要的話算出f(x）就行了。平時做題的時候用導數還是均值定理，就看你喜歡用哪個了。不過注意均值定理最後的討論，有時ax≠b/x，就不能用均值定理了。

上述研究都是建立在x>0的基礎上的，不過對勾函式是奇函式，所以研究出正半軸圖像的性質後，自然能補出對稱的圖像。如果出現平移了的問題（圖像不再規則），就先用平移公式或我總結出的平移規律還原以後再研究，這個能力非常重要，一定要多練，爭取做到特別熟練的地步。

事實上，利用將對勾函式進行選擇可以得到標準的雙曲線方程。也就是說，對勾函式是雙曲線，這個利用二階矩陣的變換也是可以得到的。

另外對於二次曲線，它只可能是以下幾種情況：圓，橢圓，雙曲線，拋物線，或者是兩條直線。

由對勾函式的圖像看出來，非雙曲線莫屬了。

其它解法

面對這個函式 f(x)=ax+b/x,我們應該想得更多，需要我們深入探究：⑴它的單調性與奇偶性有何套用？而值域問題恰好與單調性密切相關，所以命題者首先想到的問題應該與值域有關；⑵函式與方程之間有密切的聯繫，所以命題者自然也會想到函式與方程思想的運用；⑶眾所周知，雙曲線中存在很多定值問題，所以很容易就想到定值的存在性問題。因此就由特殊引出了一般結論；繼續拓展下去，用所猜想、探索的結果來解決較為複雜的函式最值問題。能否與均值有關係。

重點

對勾函式的一般形式是：

f(x)=ax+b/x(a>0) 不過在高中文科數學中a多半僅為1，b值不定。理科數學變化更為複雜。

定義域為（-∞，0）∪（0,+∞）

值域為（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）

當x>0，有x=根號b/根號a，有最小值是2√ab

當x<0，有x=-根號b/根號a，有最大值是：－2√ab

對勾函式的解析式為y=x+a/x（其中a>0），它的單調性討論如下：

設x1<x2，則f(x1）-f(x2）=x1+a/x1-(x2+a/x2）=(x1-x2）+a(x2-x1）/(x1x2）=[(x1-x2)(x1x2-a)]/(x1x2）

下面分類進行討論：

⑴當 時，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函式在（-∞，-根號a）上是增函式

⑵當 時，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函式在（-根號a,0）上是減函式

⑶當 時，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函式在（0，根號a）上是減函式

⑷當 時，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函式在（根號a，+∞）上是增函式

解題時常利用此函式的單調性求最大值（max）與最小值（min）。

例題

2006年高考上海數學試卷（理工農醫類）

已知函式 y=x+a/x 有如下性質：如果常數a>0，那么該函式在 (0,√a] 上是減函式，在 ，[√a,+∞）上是增函式．

⑴如果函式 y=x+（2^b)/x （x>0）的值域為 [6,+∞），求b 的值；

⑵研究函式 y=x^2+c/x^2 （常數c >0）在定義域內的單調性，並說明理由；

⑶對函式y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常數a >0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函式的特例．研究推廣後的函式的單調性（只須寫出結論，不必證明），並求函式F(x) =(x^2+1/x)^n+（1/x^2+x)^n（n是正整數）在區間[1/2;,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）