線性代數與空間解析幾何CAP

《線性代數與空間解析幾何CAP》是電子科技大學提供的慕課課程，授課老師是黃廷祝、蒲和平、何軍華、王轉德、房秀芬、荊燕飛、李厚彪、王博、李紅、原子霞、王穎。

基本介紹

• 中文名：線性代數與空間解析幾何CAP
• 類別：慕課
• 提供院校：電子科技大學
• 授課老師：黃廷祝、蒲和平、何軍華、王轉德、房秀芬、荊燕飛、李厚彪、王博、李紅、原子霞、王穎

課程簡介

線性代數中常用的公理化定義、特有的理論體系、嚴格的推理論證及抽象的思維方法都有它自身的特色，具有其他課程無法取代的作用，特別是隨著計算機的飛速發展與廣泛套用，許多實際問題可以離散化、線性化，從而轉化為線性代數問題，更進一步顯示其特殊重要的地位，成為科技人才必備的數學基礎。同時本課程對於培養學生的抽象思維能力、空間想像能力、邏輯推理能力、科學計算能力，以及建立數學模型解決實際問題的能力都有十分重要的意義。

課程大綱

01 矩陣及逆矩陣

熟練掌握矩陣的概念及運算；掌握矩陣的初等變換及對應的初等矩陣；理解逆矩陣的概念，會用初等變換法求逆矩陣.

課時

1-1.1 矩陣的概念

1-1.2 矩陣的線性運算

1-1.3 矩陣乘法的定義

1-1.4 矩陣乘法的運算規律

1-1.5 方陣的冪與多項式

1-1.6 矩陣的轉置

1-1.7 對稱矩陣與反對稱矩陣

練習題1-1

1-2.1 線性方程組與同解變換

1-2.2 矩陣的初等變換與高斯消元法

1-2.3 矩陣等價

1-2.4 初等矩陣

練習題1-2

1-3.1 逆矩陣的概念

1-3.2 逆矩陣的性質

1-3.3 矩陣可逆的充要條件

1-3.4 用初等變換求逆矩陣

練習題1-3

02 分塊矩陣及行列式

了解分塊矩陣及其運算；理解並掌握行列式的定義及性質，並能進行行列式的計算；理解拉普拉斯展開定理.

課時

1-4.1 分塊矩陣的概念

1-4.2 分塊矩陣的運算

練習題1-4

第一章習題課一

第一章習題課二

2-1.1 一階、二階和三階行列式

2-1.2 n階行列式的定義

2-1.3 用定義計算簡單的行列式

練習題2-1

2-2.1 行列式的性質1—性質3

2-2.2 行列式的性質4、性質5（1）

2-2.2 行列式的性質4、性質5（2）

2-2.3 行列式的計算

2-2.4 方陣乘積的行列式

2-2.5 幾個補充例題

練習題2-2

2-3.1 k階子式、餘子式、代數餘子式

2-3.2 拉普拉斯定理

練習題2-3

第一章單元檢測題

03 克萊默法則、矩陣的秩、空間直角坐標系

掌握克萊默法則，能利用伴隨矩陣法求逆矩陣；理解矩陣秩的概念；掌握空間直角坐標系中向量的概念及其運算.

課時

2-4.1 逆矩陣的一個簡明表達式

2-4.2 克拉默法則

練習題2-4

2-5.1 矩陣秩的概念

2-5.2 基本結論與性質

2-5.3 矩陣秩的計算

2-5.4 矩陣的標準形（分解）

2-5.5 三個證明例子

練習題2-5

第二章習題課一

第二章習題課二

3-1.1 空間直角坐標系

3-1.2 向量及其線性運算

3-1.3 向量在軸上的投影

3-1.4 向量線性運算的幾何意義

3-1.5 向量的方向餘弦

3-1.6 第一節內容小結

練習題3-1

第二章單元檢測題

04 向量的乘法、平面

理解並掌握向量的內積、外積及混合積；掌握平面的幾種表達形式，理解平面與平面的位置關係.

課時

3-2.1 內積的概念與性質

3-2.2 內積的坐標形式

3-2.3 外積的概念與性質

3-2.4 外積的坐標形式

3-2.5 混合積的概念與性質

3-2.6 混合積的幾何意義

3-2.7 第二節內容小結

練習題3-2

3-3.1 平面方程1

3-3.2 平面方程2

3-3.3 平面與平面的位置關係

3-3.4 第三節內容小結

練習題3-3

05 空間直線、n維向量空間、向量組的線性相關性

掌握空間直線的幾種表示形式，理解平面與空間直線、空間直線與空間直線間的位置關係；理解n維向量空間及子空間的概念；理解向量組線性組合、線性相關和線性無關的概念，掌握線性相關的各種判定方法.

課時

3-4.1 直線方程1

3-4.2 直線方程2

3-4.3 直線與直線的位置關係

3-4.4 直線與平面的位置關係

3-4.5 內容小結

練習題3-4

第三章 習題課一

第三章 習題課二

4-1.1 n維向量空間的概念

4-1.2 n維向量空間的子空間

練習題4-1

4-2.1 向量組的線性組合

4-2.2 向量組之間的線性表出

4-2.3 線性相關性的概念

4-2.4 線性相關性的判定

4-2.5 線性相關基本定理

練習題4-2

第三章單元檢測題

06 向量組的秩、方程組解的結構

理解向量組的秩與最大無關組的概念，熟練掌握用矩陣的初等變換求向量組的秩與最大無關組；理解齊次和非齊次線性方程組的解的性質，掌握基礎解系的計算方法.

課時

4-3.1 秩與最大無關組的概念

4-3.2 矩陣的列秩和行秩

4-3.3 向量組之間的線性表出和秩

4-3.4 最大無關組的性質和等價敘述

4-3.5 n維向量空間的基、維數與坐標

練習題4-3

4-4.1 齊次方程組解的性質和基礎解系

4-4.2 齊次方程組求解實例

4-4.3 非齊次方程組解的性質

4-4.4 非齊次方程組求解實例

練習題4-4

第四章習題課一

第四章習題課二

第四章習題課三

第四章習題課四

第四章習題課五

第四章習題課六

第四章單元檢測題

07 特徵值、特徵向量與矩陣的相似對角化

理解特徵值和特徵向量的概念，掌握特徵值和特徵向量的性質與計算；掌握相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法.

課時

5-1.1 特徵值特徵向量的定義

5-1.2 特徵子空間

5-1.3 特徵值與特徵向量的判定

5-1.4 特徵值與特徵向量的計算

5-1.5 特徵多項式

5-1.6 f(A)等的特徵多項式

5-1.7 思考與小結

練習題5-1

5-2.1 引例

5-2.2 相似矩陣的定義與性質

5-2.3 相似對角化的判定（1）

5-2.4 相似對角化的判定（2）

5-2.5 矩陣方冪的計算

5-2.6 內容小結

練習題5-2

08 n維向量空間的正交性、實對稱矩陣的相似對角化

掌握標準正交基的定義，會利用施密特正交化方法進行線性無關向量組的標準正交化；了解實對稱矩陣特徵值和特徵向量的性質，能夠將實對稱矩陣進行相似對角化.

課時

5-3.1 內積

5-3.2 cauchy-schwarz不等式

5-3.3 正交向量組與標準正交基

5-3.4 Gram-Schmidt正交化方法

5-3.5 正交矩陣

5-3練習題

5-4.1 共軛矩陣

5-4.2 實對稱矩陣的特徵值與特徵向量

5-4.3 實對稱矩陣的相似對角化

5-4.4 綜合例題

練習題5-4

第五章習題課1

第五章習題課2

第五章習題課3

第五章單元檢測題

09 二次型及其標準形、正定二次型

理解二次型的概念及其矩陣的表示形式，會用配方法和正交變換法化二次型為標準形；理解正定二次型的定義，掌握正定二次型的相關性質.

課時

6-1.1 二次型及其矩陣表示

6-1.2 矩陣的契約

6-1.3 用配方法化二次型為標準形

6-1.4 用正交變換化二次型為標準形

6-1.5 內容小結

練習題6-1

6-2.1 正定二次型的概念

6-2.2 正定二次型的性質（1）

6-2.3 正定二次型的性質（2）

6-2.4 二次型的其它類型

6-2.5 內容小結

練習題6-2

10 曲面與空間曲線、二次曲面

掌握曲面的含義，了解不同曲面方程對應的不同曲面形狀；能夠利用截痕法研究二次曲面的各種性質.

課時

6-3.1 曲面方程（1）

6-3.2 曲面方程（2）

6-3.3 曲面方程（3）

6-3.4 空間曲線（1）

6-3.5 空間曲線（2）

6-3.6 內容小結

練習題6-3

6-4.1 二次曲面的標準方程與圖形（1）

6-4.2 二次曲面的標準方程與圖形（2）

6-4.3 化二次曲面為標準方程

6-4.4 內容小結

6-4練習題

第六章習題課1

第六章習題課2

第六章習題課3

第六章單元檢測題

預備知識

高中畢業所要求的數學知識。

參考資料

國家“十二五”規劃教材《線性代數與空間解析幾何（第四版）》（黃廷祝，成孝予編），高等教育出版社，2015.9.

《線性代數與空間解析幾何學習指導教程》，黃廷祝 蒲和平 高等教育出版社 2015.9