維塔利集合

維塔利集合是一個勒貝格不可測的集合的例子,以朱塞佩·維塔利命名。維塔利定理就是關於這種集合存在與否的存在性定理,它是一個非構造性的結果。維塔利集合有無窮多個,它們的存在性是在選擇公理的假設下證明的。

基本介紹

  • 中文名:維塔利集合
  • 定義:一個勒貝格不可測的集合的例子
  • 學科:數學
不可測集的重要性,構造和證明,對不可測集的質疑,參見,

不可測集的重要性

有些集合有確定的“長度”或“質量”。例如,區間[0, 1]具有長度1;更一般地,區間[a,b],其中ab,具有長度ba。如果我們把這種區間視為金屬棒,則它們有確定的質量。如果[0, 1]的棒重1千克,則[3, 9]的棒重6千克。集合[0, 1] ∪ [2, 3]是由兩個長度為一的區間所組成,因此總長度為2。用質量來表示,就是兩個質量為1的棒,因此總質量為2。
這裡有一個很自然的問題:如果E是實數軸的任意一個子集,它有沒有“質量”或“長度”?作為一個例子,我們可能要問,有理數集的質量是什麼。它們在實數軸上十分均勻地分布,因此我們就可能要猜想,有理數集就是沒有質量的。
解決方法是使用測度論。在這個背景下,勒貝格測度把質量ba分配於區間[a,b],而把質量0分配於有理數集。任何一個有確定質量的集合都稱為“可測”的。從勒貝格測度的構造(例如,使用外測度),仍然不能明顯看出有沒有不可測的集合。

構造和證明

如果xy是兩個實數,且xy有理數,則我們記x~y,並稱xy等價的;~是一個等價關係。對於每一個x,都存在R的一個子集[x] = {yR:x~y},稱為x等價類。這些等價類的集合劃分了R。根據選擇公理,我們可以選擇一個集合
,在每一個等價類中都正好含有一個代表(也就是說,對於任何等價類[x],集合V∩ [x]是單元素集合)。我們稱V為維塔利集合。
維塔利集合是不可測的。為了證明這個命題,我們假設V是可測的。從這個假設,我們將證明一個荒唐的結論:就是a+a+a+ ……(無窮多個相同的數的和)是位於1和3之間的。由於得到了這個荒唐的結論,問題就一定出在未證明的假設(V是可測的)了。
首先,我們設q1q2,……為區間[−1, 1]內的有理數的列舉(有理數集是可數的)。從V的構造中,注意集合
k= 1,2,……是兩兩不交的,並進一步注意到
。(要證明第一個包含,考慮任何[0,1]內的實數x,並設vV中等價類[x]的代表;那么對於某個[-1,1]內的有理數,便有xv=q(例如q=ql),因此x位於Vl內。)
從勒貝格可測集合的定義中,可以證明所有這類的集合都滿足以下兩個性質:
(1)測度是可數可加的,也就是說,如果Ai是最多可數個兩兩不交的集合,那么
(2)測度是平移不變的,也就是說,對於任何實數x,都有
現在考慮以上給出的並集的測度μ。因為μ是可數可加的,它一定也滿足單調的性質;也就是說,如果AB,則μ(A)≤μ(B)。因此,可知:
根據可數可加性,我們有:
這是因為Vk是兩兩不交的。由於平移不變性,可知對於每一個k= 1,2,……,μ(Vk) = μ(V)。把這個結果代入上式,可得:
它是無窮多個非負實常數的和。如果這個常數是零,則和也是零,因此肯定不會大於或等於一。如果這個常數大於零,則和為無窮大,特別地,它肯定不會小於或等於3。
這個結論是荒唐的,且由於平移不變性和可數可加性就是我們使用的一切,於是V便一定是不可測的。

對不可測集的質疑

無窮多個相同的數加起來得到一個有限量,則這個數為無窮小量。
設b為有限量,a+a+a+.....=b,即a*無窮大=b,即a=b/無窮大。a等於有限量除以無窮大量,即a為無窮小量。
推理"
它是無窮多個非負實常數的和。如果這個常數是零,則和也是零,因此肯定不會大於或等於一。如果這個常數大於零,則和為無窮大,特別地,它肯定不會小於或等於3。
這個結論是荒唐的,且由於平移不變性和可數可加性就是我們使用的一切,於是V便一定是不可測的。
"是錯誤的。
因此,維塔利集合併非不可測,它的長度是無窮小量。

參見

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