基本介紹
- 中文名：維塔利集合
- 定義：一個勒貝格不可測的集合的例子
- 學科：數學
不可測集的重要性,構造和證明,對不可測集的質疑,參見,
不可測集的重要性
有些集合有確定的“長度”或“質量”。例如，區間[0, 1]具有長度1；更一般地，區間[a,b]，其中a≤b，具有長度b−a。如果我們把這種區間視為金屬棒，則它們有確定的質量。如果[0, 1]的棒重1千克，則[3, 9]的棒重6千克。集合[0, 1] ∪ [2, 3]是由兩個長度為一的區間所組成，因此總長度為2。用質量來表示，就是兩個質量為1的棒，因此總質量為2。
這裡有一個很自然的問題：如果E是實數軸的任意一個子集，它有沒有“質量”或“長度”？作為一個例子，我們可能要問，有理數集的質量是什麼。它們在實數軸上十分均勻地分布，因此我們就可能要猜想，有理數集就是沒有質量的。
解決方法是使用測度論。在這個背景下，勒貝格測度把質量b−a分配於區間[a,b]，而把質量0分配於有理數集。任何一個有確定質量的集合都稱為“可測”的。從勒貝格測度的構造（例如，使用外測度），仍然不能明顯看出有沒有不可測的集合。
構造和證明
如果x和y是兩個實數，且x−y為有理數，則我們記x~y，並稱x和y為等價的；~是一個等價關係。對於每一個x，都存在R的一個子集[x] = {y∈R:x~y}，稱為x的等價類。這些等價類的集合劃分了R。根據選擇公理，我們可以選擇一個集合
，在每一個等價類中都正好含有一個代表（也就是說，對於任何等價類[x]，集合V∩ [x]是單元素集合）。我們稱V為維塔利集合。
維塔利集合是不可測的。為了證明這個命題，我們假設V是可測的。從這個假設，我們將證明一個荒唐的結論：就是a+a+a+ ……（無窮多個相同的數的和）是位於1和3之間的。由於得到了這個荒唐的結論，問題就一定出在未證明的假設（V是可測的）了。
首先，我們設q1，q2，……為區間[−1, 1]內的有理數的列舉（有理數集是可數的）。從V的構造中，注意集合
，k= 1，2，……是兩兩不交的，並進一步注意到
。（要證明第一個包含，考慮任何[0,1]內的實數x，並設v為V中等價類[x]的代表；那么對於某個[-1,1]內的有理數，便有x−v=q（例如q=ql），因此x位於Vl內。）
從勒貝格可測集合的定義中，可以證明所有這類的集合都滿足以下兩個性質：
（1）測度是可數可加的，也就是說，如果Ai是最多可數個兩兩不交的集合，那么
。
（2）測度是平移不變的，也就是說，對於任何實數x，都有
。
現在考慮以上給出的並集的測度μ。因為μ是可數可加的，它一定也滿足單調的性質；也就是說，如果A⊂B，則μ(A)≤μ(B)。因此，可知：
根據可數可加性，我們有：
這是因為Vk是兩兩不交的。由於平移不變性，可知對於每一個k= 1，2，……，μ(Vk) = μ(V)。把這個結果代入上式，可得：
它是無窮多個非負實常數的和。如果這個常數是零，則和也是零，因此肯定不會大於或等於一。如果這個常數大於零，則和為無窮大，特別地，它肯定不會小於或等於3。
這個結論是荒唐的，且由於平移不變性和可數可加性就是我們使用的一切，於是V便一定是不可測的。
對不可測集的質疑
無窮多個相同的數加起來得到一個有限量，則這個數為無窮小量。
設b為有限量，a+a+a+.....=b，即a*無窮大=b，即a=b/無窮大。a等於有限量除以無窮大量，即a為無窮小量。
推理"
它是無窮多個非負實常數的和。如果這個常數是零，則和也是零，因此肯定不會大於或等於一。如果這個常數大於零，則和為無窮大，特別地，它肯定不會小於或等於3。
這個結論是荒唐的，且由於平移不變性和可數可加性就是我們使用的一切，於是V便一定是不可測的。
"是錯誤的。
因此，維塔利集合併非不可測，它的長度是無窮小量。
