存在性定理

存在性定理是一類定性描述。要把某種離散對象按某個確定的約束條件進行安排，如果這種特定的安排是否存在還不確定，就需要首先討論這種特定安排的存在性問題。

基本介紹

• 中文名：存在性定理
• 外文名：existence theorem
• 適用範圍：數理科學

簡介

存在性定理是一類定性描述。

要把某種離散對象按某個確定的約束條件進行安排，如果這種特定的安排是否存在還不確定，就需要首先討論這種特定安排的存在性問題。在經典組合數學中，霍爾定理、拉姆齊定理和狄爾沃斯定理是三個主要的存在性定理。

內容

霍爾定理

霍爾定理使用於組合問題中；二部圖G中的兩部分頂點組成的集合分別為X, Y, ， ，G中有一組無公共點的邊，一端恰好為組成X的點的充分必要條件是：X中的任意k個點至少與Y中的k(1≤k≤m)個點相鄰。

霍爾定理還有一個重要推論：二部圖G中的兩部分頂點組成的集合分別為X,Y, 若∣X∣=∣Y∣,且G中有一組無公共端點的邊，一端恰好組成X中的點，一端恰好組成Y中的點，則稱二部圖G中存在完美匹配。若圖G的每個點度數為t，則稱二部圖G為t-正則的二部圖存在完美匹配。　

本定理是二分圖匹配問題中匈牙利算法的基礎。

拉姆齊定理

在組合數學上，拉姆齊(Ramsey)定理是要解決以下的問題：要找這樣一個最小的數n，使得n個人中必定有k個人相識或l個人互不相識。

6 個人中至少存在3人相互認識或者相互不認識。

該定理等價於證明這6個頂點的完全圖的邊，用紅、藍二色任意著色，必然至少存在一個紅色邊三角形，或藍色邊三角形。

狄爾沃斯定理

(Dilworth's theorem)

狄爾沃斯定理亦稱偏序集分解定理，是關於偏序集的極大極小的定理，該定理斷言：對於任意有限偏序集，其最大反鏈中元素的數目必等於最小鏈劃分中鏈的數目。此定理的對偶形式亦真，它斷言：對於任意有限偏序集，其最長鏈中元素的數目必等於其最小反鏈劃分中反鏈的數目，由偏序集P按如下方式產生的圖G稱為偏序集的可比圖：G的節點集由P的元素組成，而e為G中的邊，僅當e的兩端點在P中是可比較的，有限全序集的可比圖為完全圖。