維塔利覆蓋引理

數學上，維塔利(Vitali)覆蓋引理是一個組合幾何的結果，用於實分析中。這引理說給出一族球，可以從中找到互不相交的球，將這些球半徑增加一定倍後，就能把其他的球都覆蓋住。

基本介紹

• 中文名：維塔利覆蓋引理
• 外文名：Vitali covering lemma
• 領域：數學

引理敘述

有限多球

在一個度量空間中有一族閉球，則這一族球中存在互不相交的球，適合條件

表示和有相同中心，而半徑是的三倍的球。

無限多球

在一個度量空間中有一族半徑為正數的閉球，這族球的半徑有有限的上界，即

則這一族球中存在互不相交的球，，適合條件

表示和有相同中心，而半徑是的五倍的球。

證明

有限情形

取這一族球中半徑最大的一個球，然後除去所有與相交的球。再從剩下的球中取半徑最大的為，如此類推。那么任何其他的球必定因為和某個相交而被除去，這個球的半徑不大於，因此包含在之內。

無限情形

設這一族球的半徑的上確界為R。將這一族按半徑分成子集，j為正整數；包含半徑在區間的球。依次取如下：

設。取為內互不相交球的子集之中的極大者，即其他在中的球都與這一子集中某個球相交。從佐恩引理知這樣的存在，以下同。

設已取，k為某大於1的整數。設是中不與中任何球相交的全部球的子集。取為內互不相交球的子集之中的極大者。

設。任何其他的球B必在某一個中，因此這個球與中一個球相交，而的半徑大於B的半徑的二分之一，故此B包含在之內。

討論

因為有無限多球時，可能不存在半徑最大的球，所以在構造中，每一步選擇的球的半徑，只要求接近餘下的球的半徑的上確界。而結果中的5並非最佳常數。將的定義中的的2換成任何大於1的數c，那么就可把結果中的5換成1+2c，即可以用任何大於3的數取代。不過由於未必有半徑最大的球，以致不能像有限多球時用3取代，以下是一個簡單例子。

在平面中，給出如下的一族球：對每個正整數n，是半徑為的閉球，若n為奇數，的圓心在；若n為偶數，則圓心在。所有球都包含原點(0,0)，故任意兩個球都相交，因此包含互不相交的球的子集只能有一個球。這一族球的半徑上確界是2，然而全部球的半徑都小於2。若選任何一個為這個子集，因有半徑更大的球在原點的另一側，故此不覆蓋。

套用

這條引理可用於證明哈代－李特爾伍德極大不等式。

參見

• 貝西科維奇覆蓋定理