貝西科維奇覆蓋定理

數學上，貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理是實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中，可以取出幾個子集，子集的球互不相交，且覆蓋原來閉球族中所有球的中心，而子集的數目上限只取決於空間的維數。

基本介紹

• 中文名：貝西科維奇覆蓋定理
• 學科：數學

定理敘述

若 是 中的非退化（半徑為正數）閉球族，當中的球的半徑有有限上界，即

而A為當中的球的中心組成的集合。那么F中存在子集 ，每個 是可數多個互不相交的球的集合，而且

其中 是一個僅依賴於n的常數。

證明

先假設A是有界集合。依次選取球 ，選擇 為 ，適合條件 。

若已選取 。令 。若 ，就停止；若否，選擇 為B_j，適合條件 。

球 B_i有以下性質：

（1）以B_i的選取方法可知，若j>i，則 。

（2）將全部球B_i的半徑縮至三分之一，從以上不等式，可證這些縮小的球 互不相交。

（3）若有可數無限多球B_i，因A有界，及縮小的球不交的性質，所以球B_i的半徑趨向0。

（4） 。若B_i數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，假如有 ，那么F中有球B(a,r)，而從上一性質知，對足夠大的j，有 ，與B_j的選取條件矛盾。

對k> 1，估算B_k和多少個之前選擇的球B_i相交。先將這樣的B_i按半徑r_i分成兩組： 為第一組， 為第二組。

對第一組的球 ，將其縮小成 後包含在 中。 之間互不相交，故總體積不超過 的體積。又因 ，因此 相對 的比例有一個下限，而這下限僅由維數n決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。

對第二組的球，任取其中兩個球 。考慮以 作頂點的三角形。因B_i,B_j都和B_k相交，又a_k不在 之內，故有不等式

繼而證出此三角形以a_k為頂點的角 ，不小於一常數。

將第二組各個的球的中心和a_k之間連成直線，則任意兩條直線之間在a_k的夾角不小於arccos(61/64)。a_k為中心的單位球面上，這些直線中任何兩條和球面的交點，其間的球面距離，等於直線間的夾角。直線間的夾角下限，就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目，有一個只依賴維數n的上限，這也就是第二組球的數目上限。

B_k和之前的球相交的數目上限，是以上兩組的上限的和，於是這個上限只依賴於維數n。這個上限加1設為M_n。現在從 B₁開始依次把球放到子集G_i內。輪到B_k時，因為之前的球中最多有M_n-1個和B_k相交，因此在M_n個子集G_i中，必定有至少一個所包含的球都不和B_k相交，於是可以把B_k加進這個子集。這樣就得出了子集G_i，滿足條件

對一般的A，設

對每個正整數l，設

將以上結果用到 和 上，得到子集 ，滿足條件

對，設，並設。那么的球互不相交，且有

因此定理得證。

參見

• 維塔利覆蓋引理