相對論流體力學Euler方程組的相關問題

《相對論流體力學Euler方程組的相關問題》是依託上海套用技術大學，由耿永才擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：相對論流體力學Euler方程組的相關問題
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：耿永才
• 依託單位：上海套用技術大學

項目摘要

相對論流體力學廣泛用於天體物理、等離子物理、核物理、宇宙學等領域，本項目主要研究相對論流體力學Euler方程組(雙曲型方程組)的相關問題。具體包括高維系統光滑解的存在性以及奇性形成問題,一維完整系統弱解的整體存在性和等熵逼近問題。我們將克服相對論Euler方程組的複雜性帶來的困難,將經典的流體力學Euler方程組中局部光滑解的存在性和奇性分析以及整體弱解存在性理論進行推廣,來解決上述問題。並希望在解決問題的過程中發展新的思想、技巧和方法去進一步研究這類方程的結構和特性，為推動相對論流體力學數學理論的發展做出一些貢獻。

結題摘要

相對論流體力學廣泛用於天體物理、等離子物理、核物理和宇宙學等領域。本項目旨在研究相對論流體力學中的數學問題，即相對論歐拉方程組（雙曲方程）的適定性問題。具體包括：1. 高維系統光滑解的存在性及其奇性形成問題；2. 一維完整系統弱解的整體存在性和等熵逼近問題； 3.其他具有相對論效應的數學模型及其適定性問題。 對於問題1中局部光滑解的存在性，我們主要利用擬線性對稱雙曲理論來證明，但是否含有真空導致了對稱方法的不同。當初值不含有真空時，可以利用系統的嚴格凸熵使系統對稱化，但是當初值含有真空時，用前者得到的對稱系統的係數矩陣在真空處會發生退化，因此我們將採用廣義黎曼不變數和正則化速度將系統對稱化。這一結果已經以論文形式發表。對於問題1中解的奇性形成問題，我們主要討論了具有球對稱結構的相對論歐拉方程組正則解（正則解一定是光滑解，反之不然）的奇性形成。主要方法是構造合適的泛函，使得該泛函滿足類似Ricatti型的微分不等式，繼而可以證明正則解的奇性形成問題。值得說明的是，該方法還適用於帶有排斥力的相對論歐拉-泊松方程。該結果也以論文形式發表。 對於問題2，由於相對論歐拉方程的完整系統的狀態方程不太清楚，並且找不到合適的坐標系來描述激波曲線和疏散波曲線的幾何性質，所以問題仍在研究中。 對於問題3，利用相應的物理背景，我們推導出了相對論歐拉-泊松方程。利用黎曼不變數使得方程解藕，結合Lax不變數的方法證明了在初始黎曼不變數關於空間變數的導數大於零的條件下整體光滑解的存在性。這一結果也以論文形式發表。另外一個具有相對論效應的數學物理模型是相對論輻射流體模型。對此模型，我們利用疊代法和不動點原理得到了系統局部經典解的存在性。該結果已經以論文形式線上發表。 此外我們還研究了具有球對稱結構的相對論歐拉方程組穩態解的存在性，具體包括經典穩態解和弱穩態解（跨音速解）的存在性。具體見發表的論文。