相合性

相合性(consistence)是一個估計量所應具備的最基本的性質。相合估計亦稱為一致估計、相容估計，估計量的一種大樣本性質為：當樣本容量n充分大時，估計量可以以任意的精確程度逼近被估計參數的真值。按收斂意義不同，可以區分不同的相合性，常見的有：弱相合估計、強相合估計、r階相合估計，這三種相合性之間的關係與三種收斂性的關係是完全一致的。

基本介紹

• 中文名：相合性
• 外文名：consistence
• 所屬學科：數學（統計學）
• 相關概念：相合估計，估計量等
• 分類：弱相合、強相合、r階相合估計

基本介紹

無偏性和有效性都是在樣本容量n固定的前提下提出的，當希望隨著樣本容量的增大，一個估計量的值能夠穩定在待估參數真值的附近，這就是估計量的相合性的要求。

設為的基於樣本的的一個估計量，顯然它依賴於樣本n，為表明這種依賴性，可以記之為。隨著樣本量的變化，可得到一列估計量，一個自然的希望是，當樣本容量無限增加時，估計量能夠依某種意義接近於被估計量的真值。顯然，這是對估計量的起碼要求。相合性就是這樣的一個要求。

弱相合估計

簡稱“相合估計”。稱為的弱相合估計，如果依機率收斂於，即當n充分大時，有。

強相合估計

稱為的強相合估計，如果以機率1收斂於，即當n充分大時，有。

r階相合估計

稱為的r階相合估計，如果r階收斂於，即當n充分大時，有。特別，當r=2時，稱為的均方相合估計。

上述三種相合性之間的關係與三種收斂性的關係是完全一致的。上面的定義中，收斂性指對於任意固定的收斂。假設相應的收斂關於是一致的，則相應的相合性稱做“一致相合性”。

相關定理

定義

定義1 設為的基於樣本的的一個估計量，若對任意固定的，都滿足：對於任給的，有

成立，則稱為的相合估計，上述極限式簡記為。

定義2若對任何固定的都有

則稱為的強相合估計量，上述式子可簡記為，這裡a.s.為almost surely的縮寫。

式(1)表明隨機變數序列依機率收斂於，而式(2)即幾乎處處收斂於。由以上定義以及幾乎處處收斂和依機率收斂之間的關係知，強相合估計必為相合估計。

定理1

設在參數空間上連續，為的強相合估計量，i=1,2,...,k，則為的強相合估計量。

定理2

設總體有直到k(k≥2)階的矩。可表示為，且G為連續函式。記分別為樣本原點矩和樣本中心矩，則為的強相合估計量。

注意：由該定理可知，矩估計量一般是強相合的。

定理3

設分布族滿足：

（1）X是有限集；

（2）對於不同的參數值θ和θ’，所對應的分布不同；

（3）有共同支撐，即與θ無關；

則對於簡單隨機樣本，θ的最大似然估計量存在，且為θ的相合估計量。

定理4

設分布族滿足：

（1）θ為R（一維實空間）中的開集；

（2）不同的參數值θ和θ’，所對應的分布不同；

（3）有共同支撐A；

（4）對θ的偏導數在X上存在，並且當簡單隨機樣本時，似然方程有且僅有解，則，即為θ的相合估計量。

例題解析

例1

設，則是θ的有偏估計，但它是相合的。

證明：

的密度函式為，此處為A的示性函式。故對任意ε>0，有

可見為θ的相合估計。

例2

設，證明θ的極大似然估計是相合的。

證明：似然函式為

故有

可見為θ的嚴格單調下降函式。又因為

從而有且僅有一個解。故似然方程的根必為極大似然估計量且是相合估計。