相合估計

相合估計亦稱為一致估計、相容估計，估計量的一種大樣本性質為：當樣本容量n充分大時，估計量可以以任意的精確程度逼近被估計參數的真值。按收斂意義不同，可以區分不同的相合性，常見的有：弱相合估計、強相合估計、r階相合估計，這三種相合性之間的關係與三種收斂性的關係是完全一致的。相合性是一個估計量所應具備的最基本的性質。

基本介紹

• 中文名：相合估計
• 外文名：consistent estimation
• 別名：相容估計，一致估計
• 類別：弱相合估計、強相合估計
• 特點：強相合估計量必為相合估計量
• 套用領域：數理統計

定義

設 為 的基於樣本的 的一個估計量，顯然它依賴於樣本n，為表明這種依賴性，可以記之為 。隨著樣本量的變化，可得到一列估計量，一個自然的希望是，當樣本容量無線增加時，估計量能夠依某種意義接近於被估計量的真值。顯然，這是對估計量的起碼要求。相合性就是這樣的一個要求。

相合估計量

弱相合估計，簡稱為相合估計。

設 為 的基於樣本的 的一個估計量，若對任意固定的 ，都滿足：對於任給的 ，有

成立，則稱 為 的相合估計量，上述極限式簡記為 。

強相合估計量

若對任何固定的 都有

則稱 為 的強相合估計量，上述式子可簡記為 ，這裡a.s.為almost surely的縮寫。

兩者的關係

若對任意固定的 ，隨機變數序列 依機率收斂於 ；而 則表明對於任何 ， 幾乎處處收斂於 ，可以證明，強相合估計量必為相合估計量。

相關定理

定理1

設 在參數空間 上連續， 為 的強相合估計量，i=1,2,...,k，則 為 的強相合估計量。

定理2

設總體有直到k(k≥2)階的矩 。 可表示為 ，且G為連續函式。記 分別為樣本原點矩和樣本中心矩，則 為 的強相合估計量。

注意：由該定理可知，矩估計量一般是強相合的。

定理3

設分布族 滿足：

（1）X是有限集；

（2）對於不同的參數值θ和θ’，所對應的分布不同；

（3） 有共同支撐，即 與θ無關；

則對於簡單隨機樣本 ，θ的最大似然估計量 存在，且 為θ的相合估計量。

定理4

設分布族 滿足：

（1）θ為R（一維實空間）中的開集；

（2）不同的參數值θ和θ’，所對應的分布不同；

（3） 有共同支撐A；

（4） 對θ的偏導數 在X上存在，並且當簡單隨機樣本 時，似然方程 有且僅有解 ，則 ，即 為θ的相合估計量。

典例

例1

設 ，則 是θ的有偏估計，但它是相合的。

證明：

的密度函式為 ，此處 為A的示性函式。故對任意ε>0，有

可見 為θ的相合估計。

例2

設 ，證明θ的極大似然估計是相合的。

證明：似然函式為

故有

可見為θ的嚴格單調下降函式。又因為

從而有且僅有一個解。故似然方程的根必為極大似然估計量且是相合估計。