漸近正態估計

漸近正態估計也稱“相合漸近正態估計”，是當樣本容量n無限增大時，極限分布為常態分配的估計量。如樣本均值，樣本矩等均 為漸近正態估計；在相當廣泛的條件下，未知參數的最大似然估計量都是漸近正態估計。

基本介紹

• 中文名：漸近正態估計
• 外文名：asymptotically normal estimate 
• 簡稱：CAN估計
• 所屬學科：數學（統計學）
• 別名：相合漸近正態估計
• 舉例：樣本均值，樣本矩等

基本介紹

相合性反映了當時估計量的優良性質，但由於參數的相合估計可以不止一個，它們之間的差異可以用估計量的漸近分布的漸近方差反映出來。

定義 設是的估計量，如果存在一串，滿足，其中，使得當時，有

的分布收斂於N(0，1)

則稱是的漸近正態估計，稱為的漸近方差。

當樣本容量n足夠大時，對於一個漸近正態估計，可以用作為的近似分布，從而可以對進行區間估計。

容易證明，漸近正態估計一定是相合估計，但不一定是強相合估計。

對某個待估參數，如果存在著漸近正態估計，這樣的估計可能並不唯一。因此漸近方差的大小就可以作為比較這些估計優劣的一個準則。

相關概念與定理

最優漸近正態估計設為待估參數的一個漸近正態估計，漸近方差為，若對的任意漸近正態估計，漸近方差記內、有

則稱為的最優漸近正態估計(the best asymptotically normal estimate)。

定理 漸近正態估計一定是相合估計。

證明： 設是的漸近正態估計，由定義，對任意及k>0，當n充分大時必須充分小，因此，故當時有

由k的任意性，令，由於，因此

即是的相合估計。

例題解析

例1 設X～B(1，p)(二項分布)，(X₁，X₂，…，X_n)是X的樣本，p的一個估計量是，由中心極限定理，當時有

的漸近分布為N(0，1)，

故是p的漸近正態估計，漸近方差為。