皮卡小定理

皮卡定理是兩個不同的數學定理的泛稱,由法國數學家埃米爾·皮卡證明。這兩個定理都涉及解析函式值域。皮卡小定理說明,如果函式f(z)是整函式且不是常數,則f(z)的值域或者是整個複平面,或者只去掉一個點。 這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理:任何不是常數的整函式都一定是無界的。

基本介紹

  • 中文名:皮卡小定理
  • 領域:數學
簡介,定理的表述,小定理,大定理,評論,

簡介

皮卡定理是兩個不同的數學定理的泛稱,由法國數學家埃米爾·皮卡證明。這兩個定理都涉及解析函式值域。皮卡小定理說明,如果函式f(z)是整函式且不是常數,則f(z)的值域或者是整個複平面,或者只去掉一個點。 這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理:任何不是常數的整函式都一定是無界的。

定理的表述

小定理

皮卡小定理說明,如果函式f(z)是整函式且不是常數,則f(z)的值域或者是整個複平面,或者只去掉一個點。 這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理:任何不是常數的整函式都一定是無界的。
皮卡的原始證明利用了模函式(Modular lambda function)。證明概要如下:若f(z)的值域不包含複平面上的兩個點,不失一般性地,可以假設f(z)的值域不包含0和1,設
是其值域中的點,在這個點附近,可以選取模函式
的逆的某個單值解析分支,記作
。利用模函式的通用覆蓋性和單值性定理,可以將
點(
)附近定義的複合映射
解析延拓到整個複平面上,從而得到一個在複平面上單值解析但有界的函式。根據劉維爾定理,該函式為常函式。因此
也是常函式。

大定理

皮卡大定理說明,如果f(z)在點w具有本性奇點,那么在任何含有w開集中,f(z)都將取得所有可能的複數值,最多只有一個例外。
這個定理強化了魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理,它只保證了f的值域在複平面內是稠密的。

評論

  • 這個“唯一的例外”實際上在兩個定理中都是需要的:指數函式e是一個整函式,永遠不能是零。e在0處具有本性奇點,但仍然不能取得零。
  • 皮卡大定理在一個更一般的形式中也是正確的,可以套用於亞純函式:如果M是一個黎曼曲面wM上的一個點,PC=C∪{∞}表示黎曼球面f:M\{w}→PC是一個全純函式,在w處具有本性奇點,那么在M的任何含有w的開子集中,函式f都可以取得除了兩個點以外的所有PC的點。
  • 例如,亞純函式f(z)=1/(1−exp(1/z))在z=0處具有本性奇點,在0的任何鄰域內都無窮多次取得值∞;但它無法取得0或1的值。
  • 皮卡小定理可以從皮卡大定理推出,因為整函式要么是多項式,要么在無窮遠處具有本性奇點。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們