正規性定則

正規性定則是判斷一個全純函式族或亞純函式族在一區域為正規的充分條件。一個全純函式族F在一個區域D內為正規的一個充分條件都稱為正規性定則。

基本介紹

• 中文名：正規性定則
• 外文名：criterion for normality
• 適用範圍：數理科學

簡介

正規性定則是判斷一個全純函式族或亞純函式族在一區域為正規的充分條件。

一個全純函式族F在一個區域D內為正規的一個充分條件都稱為正規性定則。蒙泰爾（Montel,P.A.）指出如果F是區域D內一致有界的全純函式族，則F是正規族。經過進一步研究，蒙泰爾證明了“F中的函式在D內均不取二固定的有窮值a及b”是一個正規性定則。

推廣

由蒙泰爾的正規性定則，很容易推出皮卡的小定理及大定理，由它還很容易推出肖特基定理及蘭道定理。

此外，根據蒙泰爾的這個正規性定則，茹利亞(Julia,G.M.)證明了下列定理：如果f(z)是一個超越整函式，那么，最少存在一條茹利亞方向。

發展

全純函式正規族及亞純函式正規族理論已經發展到了完善的地步，這個理論中的一個重要研究課題是尋求新的正規性定則，在這方面，布洛赫（Bloch,A.）的下列猜測很有指導意義：如果p是一個性質，非常數的整函式（或非常數的亞純函式）不具有性質p，那么，在一個區域內具有性質p的全純函式族（或亞純函式族）是正規的，這個猜測在一些例子中都是對的。

例如與關於整函式的劉維爾（Lioville,J.）定理相應的是以上蒙泰爾的關於一致有界的全純函式族的定理，與關於整函式的皮卡定理相應的是以上蒙泰爾的關於有兩個有窮例外值的全純函式族的定則。

正規族

正規族是一種特定的亞純函式族，是P.蒙泰爾1912年提出的一種理論，在複變函數論中有著廣泛的套用。

正規族是指具有某種收斂性質的函式族。定義如下：在一個區域D的一個全純函式族F稱為在D內為正規，如果從F的每一個函式序列都可以選出一個子序列，使得它在D的內部一致收斂到一個全純函式或一致發散到∞。