柯西-利普希茨定理

在數學中,柯西-利普希茨定理(Cauchy-Lipschitz Theorem),又稱皮卡-林德勒夫定理(Picard-Lindelöf Theorem),保證了一元常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西於1820年發表,但直到1868年,才由魯道夫·利普希茨給出確定的形式。另一個很常見的叫法是皮卡-林德勒夫定理,得名於數學家埃米爾·皮卡和恩斯特·林德勒夫。

基本介紹

  • 中文名:柯西-利普希茨定理
  • 外文名:Cauchy-Lipschitz Theorem
  • 提出者:奧古斯丁·路易·柯西
  • 提出時間:1820年
  • 適用領域:常微分方程
局部定理,驗證推導,最大解定理,定理推廣,

局部定理

設E為一個完備的有限維賦范向量空間(即一個巴拿赫空間),f為一個取值在E上的函式
其中U為E中的一個開集,I是
中的一個區間。考慮以下的一階非線性微分方程:
如果f關於t連續,並在U中滿足利普希茨條件,也就是說,
那么對於任一給定的初始條件:
,其中
,微分方程(1)存在一個解 (J,x(t)),其中
是一個包含
的區間,x(t) 是一個從 J 射到 U 的函式,滿足初始條件和微分方程。
局部唯一性:在包含點
的足夠小的J區間上,微分方程(1)的解是唯一的(或者說,方程所有的解在足夠小的區間上都是重疊的)。
這個定理有點像物理學中的決定論思想:當我們知道了一個系統的特性(微分方程)和在某一時刻系統的情況(
)時,下一刻的情況是唯一確定的。

驗證推導

一個簡潔的證明思路為構造一個總是滿足初始條件的函式遞歸序列
,使得
,這樣,如果這個序列有一個收斂點 y ,那么y為函式
不動點,這時就有
,於是我們構造出了一個解y。為此,我們從常數函式
開始。令
這樣構造出來的函式列
中的每個函式都滿足初始條件。並且由於 f 在 U 中滿足利普希茨條件,當區間足夠小的時候,
成為一個收縮映射。根據完備空間的不動點存在定理,存在關於\Phi的穩定不動點,於是可知微分方程的解存在。
由於收縮映射的局部穩定不動點只有一個,因此在足夠小的區間內解是唯一的。

最大解定理

局部的柯西-利普希茨定理並沒有說明在較大區域上解的情況。事實上,對於微分方程(1)的任意解(J,x(t))、
,定義一個序關係:(J,x(t))小於
若且唯若
,並且
在J上的值與x(t)一樣。在這個定義之下,柯西-利普希茨定理斷言,微分方程的最大解是唯一存在的。
證明思路
解的唯一性:假設有兩個不同的最大解,那么由局部柯西-利普希茨定理可以證明其重疊部分的值相同,將兩者不同的部分分別延伸在重疊部分上,則會得到一個更“大”的解(只需驗證它滿足微分方程),矛盾。因此解唯一。
解的存在性:證明需要用到佐恩引理,構造所有解的並集。

定理推廣

擴展至高階常微分方程
對於一元的高階常微分方程
只需構造向量
和相應的映射
,就可以使得(2)變為
。這時的初始條件為
,即
擴展至偏微分方程
對於偏微分方程,有柯西-利普希茨定理的擴展形式:柯西-克瓦列夫斯基定理,保證了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們