梅森素數,孿生素數,費馬素數,
梅森素數
1640年6月，費馬在給馬林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）的一封信中寫道：“在艱深的數論研究中，我發現了三個非常重要的性質。我相信它們將成為今後解決素數問題的基礎”。這封信討論了形如2^P－1的數（其中p為素數）。早在公元前300多年，古希臘數學家歐幾里得就開創了研究2^P－1的先河，他在名著《幾何原本》第九章中論述完美數時指出：如果2^P－1是素數，則(2^p－1)2^(p－1)是完美數。
梅森在歐幾里得、費馬等人的有關研究的基礎上對2^P－1作了大量的計算、驗證工作，並於1644年在他的《物理數學隨感》一書中斷言：對於p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時，2^P－1是素數；而對於其他所有小於257的數時，2^P－1是合數。前面的7個數（即2，3，5，7，13，17和19）屬於被證實的部分，是他整理前人的工作得到的；而後面的4個數（即31，67，127和257）屬於被猜測的部分。不過，人們對其斷言仍深信不疑，連大數學家萊布尼茲和哥德巴赫都認為它是對的。
雖然梅森的斷言中包含著若干錯誤，但他的工作極大地激發了人們研究2^P－1型素數的熱情，使其擺脫作為“完美數”的附庸的地位。可以說，梅森的工作是素數研究的一個轉折點和里程碑。由於梅森學識淵博，才華橫溢，為人熱情以及最早系統而深入地研究2^P－1型的數，為了紀念他，數學界就把這種數稱為“梅森數”；並以Mp記之（其中M為梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森數為素數，則稱之為“梅森素數”（即2^P－1型素數）。
由於梅森素數有許多獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家，如歐幾里得、費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等和無數的業餘數學愛好者對它進行研究和探尋。2300多年來，人類僅發現48個梅森素數。是否有無窮多個梅森素數是數論中未解決的難題之一。由於這種素數珍奇而迷人，因此被人們譽為“數海明珠”。
美國中央密蘇里大學數學教授柯蒂斯·庫珀(Curtis Cooper)領導的研究小組於2013年1月25日發現了已知的最大梅森素數——2^57885161-1 (即2的57885161次方減1)；該素數有17425170位，如果用普通字號將它連續列印下來，它的長度可超過65公里！
梅森素數的分布極不規則。探索梅森素數的分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。數學家們在長期的摸索中，提出了一些猜想。英國數學家香克斯、美國數學家吉里斯、法國數學家托洛塔和德國數學家伯利哈特就曾分別給出過關於梅森素數分布的猜測，但他們的猜測有一個共同點，就是都以近似表達式給出；而它們與實際情況的接近程度均未盡如人意。中國數學家及語言學家周海中經過多年的研究，於1992年首先給出了梅森素數分布的精確表達式，為人們尋找這一素數提供了方便；後來這一科研成果被國際上命名為“周氏猜測”。該猜測的內容為：當2^（2^n）<p<2^（2^（n+1））時，Mp有2^（n+1）－1個是素數（註：p為素數；n為自然數；Mp為梅森數）。
梅森素數在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑；它的探究推動了數學皇后——數論的研究，促進了計算技術、程式設計技術、格線技術和密碼技術的發展以及快速傅立葉變換的套用。梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：它的研究成果，一定程度上反映了一國的科技水平。英國頂尖科學家索托伊甚至認為它是人類智力發展在數學上的一種標誌,也是科學發展的里程碑。
孿生素數
所謂孿生素數指的就是這種間隔為 2 的相鄰素數，它們之間的距離已經近得不能再近了，就象孿生兄弟一樣。最小的孿生素數是 (3, 5)，在 100 以內的孿生素數還有 (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和 (71, 73)，總計有 8 組。但是隨著數字的增大，孿生素數的分布變得越來越稀疏，尋找孿生素數也變得越來越困難。兩個差等於2的一對素數,稱為孿生素數。例如,3和5;5和7;11和13;17和19;29和31;41和43；59和61;71和73;101和103;…;10016957和10016959；都是孿生素數。截至2002年底，人們發現的最大的孿生素數是：(33218925×2169690-1, 33218925×2169690+1) ，這對素數中的每一個都長達 51090 位！許多年來這種記錄一直被持續而成功地刷新著。
孿生素數猜想，即存在無窮多對孿生素數。這個猜想至今沒有解決，但認為它是正確的可能性很大。迄今為止在證明孿生素數猜想上的成果大體可以分為兩類。第一類是非估算性的結果，這一方面迄今最好的結果是1966年由已故的中國數學家陳景潤 (順便說一下，美國數學學會在介紹 Goldston 和 Yildirim 成果的簡報中提到陳景潤時所用的稱呼是 “偉大的中國數學家陳”) 利用篩法 (sieve method) 所取得的。陳景潤證明了：存在無窮多個素數 p, 使得 p+2 要么是素數，要么是兩個素數的乘積。這個結果和他關於 Goldbach 猜想的結果很類似。2013年前一般認為，由於篩法本身的局限性，這一結果在篩法範圍內很難被超越。
Goldston 和 Yildirim 的結果把這一系列的努力大大推進了一步，並且 - 如果得到證實的話 - 將在一定意義上終結對 Δ 進行數值估算的長達幾十年的征途，因為 Goldston 和 Yildirim孿生素數證明了 Δ=0。當然如我們前面所說，Δ=0 只是孿生素數猜想成立的必要條件，而非充份條件，因此 Goldston 和 Yildirim 的結果離最終證明孿生素數猜想還遠得很，但它無疑是近十幾年來這一領域中最引人注目的結果。
一旦 Δ=0 被證明，人們的注意力自然就轉到了研究 Δ 趨於 0 的方式上來。孿生素數猜想要求 Δ ~ [log(pn)]-1 (因為 pn+1-pn=2 對無窮多個 n 成立)。 Goldston 和 Yildirim 的證明給出的是 Δ ~ [log(pn)]-1/9，兩者之間還有相當距離。但是看過 Goldston 和 Yildirim 手稿的一些數學家認為 Goldston 和 Yildirim 所用的方法明顯存在改進的空間，也就是說對 Δ 趨於 0 的方式可以給出更強的估計。因此 Goldston 和 Yildirim 的證明其價值不僅僅在於結果本身，更在於它很有可能成為未來一系列研究的起點。這種系列研究對於數學來說有著雙重的價值，因為一方面這種研究所獲得的新結果是對數學的直接貢獻，另一方面這種研究對 Goldston 和 Yildirim 的證明會起到反覆推敲和核實的作用。現代數學早已超越了一兩個評審花一兩個小時就可以對一個數學證明做出評判的時代。以前四色定理和 Fermat 大定理都曾有過一個證明時隔幾年 (甚至十幾年) 才被發現錯誤的例子。因此一個複雜的數學結果能夠成為進一步研究的起點，吸引其它數學家的參與對於最終判定該結果的正確性具有極其正面的意義。
華人數學家張益唐2009年從事孿生素數猜想的研究，2012年7月在科羅拉多州的一個朋友家度假時，大腦突然開竅，讓他取得重大進展；最終他證明了“存在無窮多個之差小於7000萬的素數對”。有關專家指出：這一弱孿生素數猜想得以證明，將給孿生素數猜想證明開一個真正的“頭”。
費馬素數
1640年，在數論領域留下不可磨滅足跡的費馬思考了一個問題：式子2^2^n+1 的值是否一定為素數。當 n取0、1、2、3、4時，這個式子對應值分別為3、5、17、257、65537，費馬發現這五個數都是素數。由此，費馬提出一個猜想：形如2^2^n+1的數一定為素數。在給朋友的一封信中，費馬寫道： “我已經發現形如2^2^n+1的數永遠為素數。很久以前我就向分析學家們指出了這個結論是正確的。”費馬同時坦白承認，他自己未能找到一個完全的證明。費馬所研究的2^2^n+1 這種具有美妙形式的數，後人稱之為費馬數，並用Fn 表示。費馬當時的猜想相當於說：所有費馬數都一定是素數。費馬是正確的嗎？
進一步驗證費馬的猜想並不容易。因為隨著n的增大，Fn 迅速增大。比如對後人來說第一個需要檢驗的F5=4294967297已經是一個十位數了。非常可能的是，由於這一數太大，所以費馬在得出自己的猜想時並沒有對它進行驗證。那么，它到底是否如同費馬所相信的那樣是一個素數呢？
1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在寫給歐拉的一封信中問道：“費馬認為所有形如 2^2^n+1 的數都是素數，你知道這個問題嗎？他說他沒能作出證明。據我所知，也沒有其他任何人對這個問題作出過證明。”這個問題吸引了歐拉。 1732年，年僅25歲的歐拉在費馬死後67年得出F5 =641×6700417，其中641=5×27+1 這一結果意味著 是一個合數，因此費馬的猜想是錯的。
在對費馬數的研究上，費馬這位偉大的數論天才過分看重自己的直覺，輕率地做出了他一生唯一一次錯誤猜測。更為不幸的是，研究的進展表明費馬不但是錯的，而且非常可能是大錯特錯了。
此後人們對更多的費馬數進行了研究。隨著電子計算機的發展，計算機成為數學家研究費馬數的有力工具。但即使如此，在所知的費馬數中竟然沒有再添加一個費馬素數。迄今為止，費馬素數除了被費馬本人所證實的那五個外竟然沒有再發現一個！因此人們開始猜想：在所有的費馬數中，除了前五個是素數外，其他的都是合數。如果這一結論被證實，那么對於費馬的草率猜想來說，恐怕不會。
