牛頓插值公式

牛頓插值公式

當只知道函式在一些節點的位置卻不知道函式具體的表達式時,我們可以利用代數插值方法給出函式的近似形式。常用的插值公式有拉格朗日插值、牛頓差值、埃米爾特插值及樣條插值等等。

牛頓(Newton)插值公式是代數插值方法的一種形式。牛頓差值引入了差商的概念,使其在差值節點增加時便於計算。

基本介紹

  • 中文名:牛頓插值公式
  • 外文名:Newton interpolation formula
  • 提出者:牛頓
  • 套用學科:數學,計算力學
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牛頓插值公式(Newton interpolation formula)是代數插值方法的一種形式。牛頓差值引入了差商的概念,使其在差值節點增加時便於計算。

差商

設函式
,已知其n+1個插值節點為
,我們定義:
的零階差商為
在點
的一階差商為
在點
的二階插商為
一般的,
在點
的k 階差商為
可將k階差商
表示為函式值
的組合:

公式推導

先寫出
的各階差商:
分別變形可得:
依次代入,可得牛頓差值公式:
可記為:
其中,
為牛頓差值公式的餘項或截斷誤差,當n趨於無窮大時為零。

等間距差值公式

取節點間距為h,可導出等間距牛頓差值公式。(以向前差分為例)
的n 階向前差分公式為:
等間距牛頓差值公式:

實例

下圖為給定節點值利用牛頓差值擬合函式值得實例:
牛頓插值算例牛頓插值算例

公式意義

牛頓差值作為一種常用的數值擬合方法,因其計算簡單,方便進行大量差值點的計算,且邏輯清楚,便於編程計算,在實驗分析中具有廣泛的套用。
特別是實驗中經常出現只能測量得到離散數據點的情況,或者只能用數值解表示某對應關係之時,可以使用牛頓插值公式,對離散點進行擬合,得到較為準確的函式解析值。

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