牛頓插值公式

當只知道函式在一些節點的位置卻不知道函式具體的表達式時，我們可以利用代數插值方法給出函式的近似形式。常用的插值公式有拉格朗日插值、牛頓差值、埃米爾特插值及樣條插值等等。

牛頓（Newton）插值公式是代數插值方法的一種形式。牛頓差值引入了差商的概念，使其在差值節點增加時便於計算。

基本介紹

• 中文名：牛頓插值公式
• 外文名：Newton interpolation formula
• 提出者：牛頓
• 套用學科：數學，計算力學

牛頓插值公式（Newton interpolation formula）是代數插值方法的一種形式。牛頓差值引入了差商的概念，使其在差值節點增加時便於計算。

差商

設函式 ，已知其n+1個插值節點為 ， ，我們定義：

在 的零階差商為 ；

在點 與 的一階差商為

在點 ， ， 的二階插商為

一般的， 在點 的k 階差商為

可將k階差商 表示為函式值 的組合：

公式推導

先寫出 的各階差商：

；

；

分別變形可得：

；

；

依次代入，可得牛頓差值公式：

可記為：

其中，為牛頓差值公式的餘項或截斷誤差，當n趨於無窮大時為零。

等間距差值公式

取節點間距為h，可導出等間距牛頓差值公式。（以向前差分為例）

的n 階向前差分公式為：

等間距牛頓差值公式：

實例

下圖為給定節點值利用牛頓差值擬合函式值得實例：

牛頓插值算例

公式意義

牛頓差值作為一種常用的數值擬合方法，因其計算簡單，方便進行大量差值點的計算，且邏輯清楚，便於編程計算，在實驗分析中具有廣泛的套用。

特別是實驗中經常出現只能測量得到離散數據點的情況，或者只能用數值解表示某對應關係之時，可以使用牛頓插值公式，對離散點進行擬合，得到較為準確的函式解析值。