反插值

反插值

設函式f的離散數據為(xi,yi),yi=f(xi),i=0,1,2,...,n,插值的目的是在x0,x1,x2,...,xn之間給定了自變數x的值後,要去求函式f的近似值,其途徑是構造插值多項式,不同的構造方法,就是不同的插值法。與此相反,反插值的目的是在y0,y1,...,yn之間給定了函式f的值後,要去求自變數x的近似值,其途徑仍是利用插值法。

反插值有兩種處理方式:一種是直接利用函式f的插值多項式;另一種是在假設f-1存在的前提下,構造f的反函式f-1的插值多項式。因為反插值歸結為求滿足f(x)=c的x的近似值,這裡c是在y0,y1,...,yn之間的某個值。如果f的反函式f-1存在,則x=f-1(c)。反插值就是求f-1在c上的近似值。當c=0時,反插值就是求函式f的近似零點,或者說是求方程f(x)=0的近似根,所以反插值有明顯的意義。

基本介紹

  • 中文名:反插值
  • 外文名:inverse interpolation
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:計算數學(數值逼近)
  • 屬性:一種插值方法
基本介紹,方法步驟,反插值及餘項,

基本介紹

反插值(inverse interpolation)是一種插值法,指利用插值函式反求滿足某條件之自變數
的近似值。設給定函式
個不同點
上的值
,欲求使
的近似值,這裡
是含
的區間[α,β]中之某個值。反插值就是求
的反函式
在c處的近似值。

方法步驟

的反函式
在c處的近似值通常可由
牛頓插值公式
近似代替
,再令
,求出
的近似,一般用逐次逼近法,先取
使得滿足
,即
再求
,使它滿足
,這裡
的一階與二階均差。由上式得到
然後用疊代公式
疊代至
在所要求精度下相等為止。也可直接利用反函式
為節點的牛頓插值多項式
,用
近似

反插值及餘項

假設函式
以表格形式給出如下:
表1
反插值就是要以函式
的值來求自變數
的的值。
設函式
在含
的區間
上嚴格單調,則由高等數學知識可知,
是一一對應的,即存在反函式
,此時反插值問題有唯一解存在。
一般情況下,可用拉格朗日插值多項式牛頓插值多項式,只須將
的位置互換即可。如用拉格朗日插值多項式對上表作反插值有
反插值的餘項為

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