反插值

設函式f的離散數據為(x_i，y_i)，y_i=f(x_i)，i=0，1，2，...，n，插值的目的是在x₀，x₁，x₂，...，x_n之間給定了自變數x的值後，要去求函式f的近似值，其途徑是構造插值多項式，不同的構造方法，就是不同的插值法。與此相反，反插值的目的是在y₀，y₁，...，y_n之間給定了函式f的值後，要去求自變數x的近似值，其途徑仍是利用插值法。

反插值有兩種處理方式：一種是直接利用函式f的插值多項式；另一種是在假設f^-1存在的前提下，構造f的反函式f^-1的插值多項式。因為反插值歸結為求滿足f(x)=c的x的近似值，這裡c是在y₀，y₁，...，y_n之間的某個值。如果f的反函式f^-1存在，則x=f^-1(c)。反插值就是求f^-1在c上的近似值。當c=0時，反插值就是求函式f的近似零點，或者說是求方程f(x)=0的近似根，所以反插值有明顯的意義。

基本介紹

• 中文名：反插值
• 外文名：inverse interpolation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：計算數學(數值逼近)
• 屬性：一種插值方法

基本介紹

反插值(inverse interpolation)是一種插值法，指利用插值函式反求滿足某條件之自變數的近似值。設給定函式在個不同點上的值，欲求使之的近似值，這裡是含的區間[α，β]中之某個值。反插值就是求的反函式在c處的近似值。

方法步驟

求的反函式在c處的近似值通常可由的牛頓插值公式，近似代替，再令，求出的近似，一般用逐次逼近法，先取使得滿足，即

再求，使它滿足，這裡及為的一階與二階均差。由上式得到

然後用疊代公式

疊代至與在所要求精度下相等為止。也可直接利用反函式以為節點的牛頓插值多項式，用近似。

反插值及餘項

假設函式以表格形式給出如下：

表1

反插值就是要以函式的值來求自變數的的值。

設函式在含的區間上嚴格單調，則由高等數學知識可知，與是一一對應的，即存在反函式，此時反插值問題有唯一解存在。

一般情況下，可用拉格朗日插值多項式或牛頓插值多項式，只須將與的位置互換即可。如用拉格朗日插值多項式對上表作反插值有

反插值的餘項為