三維歐氏空間由二參變數(u，v)定義的具有二個自由度的直線全體{l(u,v)}稱為直線匯或簡稱線匯，各直線稱為光線。這方面理論發端於1828、1830年W.R.哈密頓的研究。
焦曲面(focal surface)是指由線匯確定的一種特殊曲面。經過線匯的任何一條射線，一般可引兩個可展曲面。各射線與各可展曲面的脊線有一個切點，稱為該射線的焦點。
基本介紹
- 中文名：焦曲面
- 外文名：focal surface
- 領域：數學
- 性質：特殊曲面
- 主要元素：線匯
- 子類：雙葉焦曲面
概念,線匯,可展曲面,極小線匯,脊線,
概念
焦曲面(focal surface)是指由線匯確定的一種特殊曲面。經過線匯的任何一條射線，一般可引兩個可展曲面。各射線與各可展曲面的脊線有一個切點，稱為該射線的焦點。每條射線上有兩個焦點，它們的軌跡稱為雙葉焦曲面。線匯中射線l上的兩焦點的中點，稱為射線l的中點，中點的軌跡稱為線匯的中點曲面。
線匯
三維歐氏空間由二參變數(u，v)定義的具有二個自由度的直線全體{l(u,v)}稱為直線匯或簡稱線匯，各直線稱為光線。這方面理論發端於1828、1830年W.R.哈密頓的研究。1860年E.E.庫默爾仿效曲面論的方法取定一個參考曲面，使每條光線l(u,v)和它相交於點x(u,v)，而且採用l(u,v)的單位向量n(u,v)以代替曲面的法線，於此，他作出dn2和dxdn這二個二次微分形式，並按照同曲面論一樣的步驟展開了線匯的系統的論述，從而基本上獲得了線匯的重要元素。但是，在參考曲面的選擇上存在著不惟一性的缺點，所以，G.桑尼亞(1908)對此加以改善，保留E.E.庫默爾的第一基本形式而重新作出新形式，用以取代第二基本形式，這裡dσ和dr分別表示線匯的二鄰近光線l(u,v)，l(u+du,v+dv)間的交角和最短距離，這樣，線匯論基本定理就如同曲面論中一樣，被完備無缺地建立起來了。
在討論線匯論的方法中，特別要提出的是W.J.E.布拉什克利用E.施圖迪的推移原理和W.K.克利福德的對偶數而作成的創建。下面將簡述“對偶點”與桑尼亞基本形式間的關係。
對偶數與直線坐標：按照E.斯圖迪的理論說來，直線幾何是可以移到作為二維球面上的幾何而對之進行研究的。為此，將運用被稱為“對偶數”的數系。普通的複數有兩個單位1，i，其中i2=-1，而且一般形式是α+ib)，式中α，b都是實數。對偶數的一般形式則是α+εb，其中新單位ε滿足關係式ε2=0。對偶數滿足乘法交換律，但是因子定理則不成立。換言之，二對偶數的積等於零時，各因子可以不是零。例如，設α·b≠0，εα·εb=0就是例子。可以普通複數的方法定義對偶數的正則函式。得出：
在討論線匯論的方法中，特別要提出的是W.J.E.布拉什克利用E.施圖迪的推移原理和W.K.克利福德的對偶數而作成的創建。下面將簡述“對偶點”與桑尼亞基本形式間的關係。
對偶數與直線坐標：按照E.斯圖迪的理論說來，直線幾何是可以移到作為二維球面上的幾何而對之進行研究的。為此，將運用被稱為“對偶數”的數系。普通的複數有兩個單位1，i，其中i2=-1，而且一般形式是α+ib)，式中α，b都是實數。對偶數的一般形式則是α+εb，其中新單位ε滿足關係式ε2=0。對偶數滿足乘法交換律，但是因子定理則不成立。換言之，二對偶數的積等於零時，各因子可以不是零。例如，設α·b≠0，εα·εb=0就是例子。可以普通複數的方法定義對偶數的正則函式。得出：
cos(α +εβ)=cos α-εβsin α 。
設一直線l是由其上p(x)決定的。這裡x表示p的位置向量。令式中ρ≠0是待定的實數，“×”表示向量積，這二向量的六個分量恰恰代表直線l的普呂克坐標，它們必須滿足恆等式(X，)=0。現在選取ρ使得X2=1，那么X表示直線l的單位向量。
設一直線l是由其上p(x)決定的。這裡x表示p的位置向量。令式中ρ≠0是待定的實數，“×”表示向量積，這二向量的六個分量恰恰代表直線l的普呂克坐標，它們必須滿足恆等式(X，)=0。現在選取ρ使得X2=1，那么X表示直線l的單位向量。
根據斯圖迪理論導入一個“對偶向量”：ξ=X+ε2，使之和直線l一一對應，從上述關係立即得出ξ2=1。所以(ξ)表示單位球上的一個“對偶點”，這樣，三維空間的直線被表示為單位球上的對偶點。
對偶點與桑尼亞基本形式 ：設一個線匯的光線l(u,v)所對應的對偶點，那么在單位球上所作的“對偶線素”dξ2，是在對偶旋轉下的不變形式，而且實際上，它的實部分和對偶部分恰恰分別是桑尼亞的第一和第二基本形式。
對偶點與桑尼亞基本形式 ：設一個線匯的光線l(u,v)所對應的對偶點，那么在單位球上所作的“對偶線素”dξ2，是在對偶旋轉下的不變形式，而且實際上，它的實部分和對偶部分恰恰分別是桑尼亞的第一和第二基本形式。
一個曲面的所有法線構成的線匯稱為法線匯，它有如下的重要性質，被稱為幾何光學的基本定理，即馬呂斯－迪潘定理。任意法線匯的光線經有限回關於曲面的反射或屈射後，仍然保持其為法線匯的性質。也可以用仿射和射影的觀點來研究線匯。
可展曲面
可展曲面是一類結構簡單而又非常重要的直紋曲面。可展曲面是沿著每一條直母線有同一個切平面的直紋面。可展曲面分為柱面、錐面和切線曲面(一條曲線的切線形成的曲面)(如圖1)。直紋面r=a(u)+vb(u)為可展曲面的條件是(a，b，b′)≡0。可展曲面的主要特徵為：它是單參數平面族的包絡面，其高斯曲率恆等於零，並且它在局部上可以與平面建立等距對應(即展為平面)。
圖1極小線匯
一類特殊的線匯。雙葉焦曲面都是可展曲面，且它們的脊線都是極小曲線的直線匯。對應的焦曲面稱為極小可展曲面。直線匯為極小的充分必要條件是任何線匯中的直紋面的締括線(直紋面的母線中心的軌跡)總是落在它的中點曲面上。
脊線
脊線是一種特殊等斜線。即當等斜線斜率K為零或為無窮大時得到的等斜線。脊線有兩條，兩條脊線所夾的等產量線即為資源替代的合理範圍。因此脊線對於確定資源最小成本配合有著重要的經濟意義，擴展線或規模線必定在脊線範圍之間。脊線描繪了資源替代的極限。脊線可能是直線，也可能是曲線，如果生產函式有極值存在，則脊線收斂於最大產量M點。
