準範數

準範數(paranorm)是範數的又一種推廣。準範數是定義在線性空間X上,並且滿足一定條件的實值函式賦范線性空間一定是賦準范線性空間。

基本介紹

  • 中文名:準範數
  • 外文名:paranorm
  • 本質:定義於線性空間上的實值函式
  • 相關概念:賦準范線性空間
  • 套用領域:泛函分析
定義,舉例,拓展,範數,Frechet空間,

定義

定義1 設X為線性空間
是數),定義於X上的
滿足:
(1)
若且唯若
(2)
(3)
(4)
則稱
為X上的一個準範數(有時也稱為擬範數),稱X為賦準范線性空間(或賦擬范線性空間,簡稱賦準范空間)。
註:賦準范線性空間是一個具有平移不變距離的距離線性空間,其距離由
決定。

舉例

例1 設s={x | x={xn} } 是數列空間,對x∈s,規定
是s上的一個準範數。
例2 設
是[a,b]中無限次可微的函式全體,對
,規定
是上的一個準範數。
例3 設
測度空間,E是可測集
,S是E上可測函式全體,其中幾乎處處相等的函式視為S中同一個點,對f∈S,規定
是S上的一個準範數。

拓展

範數

在準範數的基礎上,加強條件得到範數的定義。
定義2 設X為線性空間,定義於X上的
滿足:
(1)
若且唯若
(2)
(3)
則稱
為X上的範數稱X為賦范線性空間
註:顯然,賦范線性空間是賦準范線性空間。

Frechet空間

定義3 完備的賦準范線性空間稱為Frechet空間。
不難驗證,上面例1、例2、例3中的空間均為Frechet空間。

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