《流體力學中若干隨機偏微分方程模型的研究》是依託江蘇師範大學，由劉偉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：流體力學中若干隨機偏微分方程模型的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉偉
- 依託單位：江蘇師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
由於隨機偏微分方程結合了偏微分方程和隨機噪聲兩方面的特性，這使得隨機偏微分方程問題的研究更加困難，很多確定性方程所具有的性質在隨機噪聲的影響下往往不再成立。然而噪聲的同步性質是少數例外之一，同步性質直觀上是指噪聲使得某些隨機方程的長時間漸近行為比確定性方程變得更為簡單，這一性質是本項目主要研究內容圍繞的中心點。本項目的研究對象是一類在流體力學等領域具有重要套用的隨機偏微分方程模型，目標是研究該類模型中隨機噪聲是否具有同步性質，並重點探討遍歷性與隨機吸引子這兩種描述系統長時間漸近行為的工具之間的關係。為此，我們將在推廣的變分框架下研究這一類隨機偏微分方程解的存在唯一性，特別是線性可乘噪聲驅動的情形；並在此框架下研究隨機偏微分方程解的大偏差原理，遍歷性和隨機吸引子的存在性等漸近性質；我們也將探討隨機噪聲對隨機吸引子結構(維數)的影響，特別是在何種情況下噪聲具有同步性質。
結題摘要
本項目的研究對象是一類在流體力學和數學物理等領域具有重要套用的隨機偏微分方程模型，主要研究內容是在新的變分框架下研究隨機偏微分方程遍歷性質與隨機吸引子之間的相互關係和(帶可乘/退化噪聲)隨機偏微分方程的遍歷性等問題，其中重點探討隨機噪聲對動力系統長時間漸近行為(如穩定性等)的影響。經過4年的系統研究，我們取得了如下主要成果：(1) 對於一類帶分數階時間導數的擬線性(隨機)偏微分方程，通過引入新的廣義狄氏型方法，我們解決了關於解的存在唯一性這一公開問題；(2) 運用弱收斂方法和指數等價性方法證明了一類隨機偏微分方程的大偏差原理，刻畫了一類具有局部單調係數的隨機偏微分方程的解在小噪聲情形和小時間情形的漸近性質；(3) 系統研究了若干流體力學隨機偏微分方程模型和對應隨機動力系統的漸近性質，揭示了不同類型噪聲對於隨機系統長時間漸近行為的影響。
