正則點

正則點是微積分中的一個重要概念，它用來描述曲線或曲面的“光滑程度”。

令D為一開圓盤，假設f∈ H(D)，β為D的一個邊界點．若存在中心在β的圓盤D1及函式g∈ H(D1)，使得對所有z∈ D∩D1，g(z)=f(z)，我們就稱β為f的正則點．D的任何一個邊界點若不是f的正則點，就稱為f的奇點．顯然所有f的正則點的集是D的邊界的一個開子集(也可能是空集)．

基本介紹

• 中文名：正則點
• 外文名：regular point
• 所屬領域：微積分

定義

定義一：

對於一個曲面 ,若函式 在 點處連續可微，且 ,則稱 為曲面 的一個正則點。

若一個曲面上的所有點均為正則點，則稱這個曲面為正則曲面（光滑曲面）。

定義二：

對於曲線 上的一點 ,若 在 均連續可微，且 ,則稱 為曲線 的一個正則點。

若一條曲線上的所有點均為正則點，則稱這條曲線為正則曲線（光滑曲線）。

定義三：

設T∈B(X)，λ∈C如果λI一T有有界的逆運算元，則稱複數λ是運算元T的正則點；否則(即λI一T無有界逆運算元)，稱λ為T為的譜點．記ρ(T)是T的全體正則點之集，σ(T)是T的譜，當λ∈ρ(T)時，稱運算元

為T的預解運算元(或預解式)．顯然σ(T)=C\ρ(T)．

定義四：

設Г=(I,f)為C^p類的簡單參數弧,p≥1,而M₀=f(t₀)為Г的一點.對[1,p]的任一元素q,設Tq(M0)為由向量 f′(t0),f″(t0),…,f^(q)(t0)所生成的向量子空間. 稱M₀是q階正則的,如果dimTq(M₀)=q.在此條件下,M₀也是嚴格小於q的任意階正則的. 如果Γ的所有點都是q階正則的,則稱Γ是q階正則的. 正則點的概念只依賴於對應Γ的幾何弧. (見R^n的子流形.)

設∑=(D,f)為d維C^p類的簡單參數葉,p≥1,而M₀=f(x₀)為∑的一點.稱M₀是一階正則的,如果 的秩為d. 如果∑的所有點都是一階正則的,則稱∑是一階正則的. 正則點的概念只依賴於對應∑的幾何葉.
設P為係數取自交換體K中含兩個未定元的多項式.以P(x,y)=0為方程的代數曲線上的點稱為是正則的,如果P在該點的微分不為零. 當K=R時,所考察的代數曲線在這樣點的鄰域上是R^2的一個子流形. 前面的定義立刻能推廣到代數超曲面上.

相關定理

定理 假設f∈H(U)，且冪級數

的收斂半徑為1．則f在單位圓周T上至少有一個奇點．

定義 若f∈H(U)且T的每一點都是f的奇點，則T稱為f的自然邊界·在這種情形下．f沒有到真正包含U的任何區域的全純開拓．

定理 假設λ， 及 是正整數，p1<p2<p3<…，且

λ ﹥(λ+1) (k=1,2,3,...). (1)

假設

的收斂半徑為1，且對某個k，當 <n< 時，an=0．若 (z)是上式的第p項部分和，又設β為f在T上的正則點，則序列{ (z)}在β的某鄰城內收斂．

注意整個序列{ (z)}不能在 外任何一點收斂，空隙條件(1)保證了存在收斂的子序列在β的鄰域，因而在 外某些點收斂．這種現象稱為過度收斂．

定理 假設是λ個正整數，{ }是一個正整數序列，滿足 （1+1/λ） (k=1,2,3,...). 且冪級數

的收斂半徑為1，則f以T作為它的自然邊界．

定理 假設Ω是一區域，L是一條直線或一段圓弧，Ω—L是兩個區域Ω1及Ω2的並，f在Ω內連續，且f在Ω1及Ω2內均全純，則f在Ω內全純．