正則函式

正則函式又稱全純函式、解析函式，屬於高等數學中的函式，可展開為冪級數的(實變)函式，稱為正則函式，上述定義還適合於複變函數。通常，正則函式是對複變函數定義的：在定義區域內處處可微的復變(復值)函式，稱為正則函式。

基本介紹

• 中文名：正則函式
• 外文名：regular function
• 別稱：全純函式、解析函式
• 所屬領域：數理科學
• 相關概念：複平面、復變數、單值函式等

定義

正則函式亦稱全純函式或解析函式，是解析函式論的主要研究對象，對於定義於複平面上區域 內的復變數z的單值函式 ，如果它在D內的每個點 的一個鄰域內都可以用 的冪級數表示，則稱 在D內解析，外爾斯特拉斯(K.(T.W.)Weierstrass)從冪級數出發，建立了解析函式的級數理論，如果在 內的每個點z處，極限

(稱為函式 在z點的導數)都存在，柯西(A.-L.Cauchy)稱在D內是解析的，這兩個定義是等價的。函式 在D內解析的另一個等價條件是： 在 內的每一個點 處存在連續偏導數，並且滿足柯西-黎曼方程(或稱柯西-黎曼條件)：

這個條件有時簡稱C-R條件或稱達朗貝爾-歐拉條件，函式f(z)在區域D內解析的第四個等價條件是莫雷拉定理。

性質定理

性質1 函式 在域D內每一點具有導數 ，而且導數 在D內為連續。

性質2 在域D中，函式 的實部 (於此， )，)和虛部 具有一次連續偏導數

它們在D內滿足恆等條件

性質3 這項性質預先假定了函式 在域D內為連續；下面，我們把它用兩種不同方式( 和 )敘述出來，這兩種方式等價。

：無論對於域D內的任何兩點 和b，沿D內從 到b所引的(有限長)曲線C所取的積分 與積分的路徑無關，而僅與函式 和始點a及終點b有關；

：對於域D內的任何(有限長)閉曲線 ，沿這曲線所取的積分 等於0。

性質4 對於域D內的任何一點a，函式 在點a可展成一冪級數。詳言之：對於域D內的任何一點a，存在一列係數 (與a有關)，使得級數

在某一圓 (圓的半徑R與a有關)內收斂，且其和等於 。

性質5 函式 在域內每一點具有導數 。

對於與柯西同時的人黎曼(B.Riemann，1826一1866)來說(他與柯西無關地在德國奠定了複變函數論的基礎)，出發點就是關係

這在後來通行叫作“柯西一黎曼條件”(或歐拉一達朗貝爾條件)。

對於比較靠近20世紀的德國學者魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass，1855--1897)來說(他除了幾個其他的數學科目之外，並對複變函數論建立起堅實的基礎)，出發點是可以展開成冪級數這種性質(性質4)。

最後，從近代的數學方法論的觀點來看，在建立複變函數論的時候，採用解析函式的積分性質(性質3)可能有很大的優越性，這是因為在很快得出柯西積分之後，就可以從它進而導出可微分性，以及可以展成冪級數性等。