基本介紹
- 中文名：正交變換群
- 外文名：orthogonal transformation group
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：高等幾何(幾何基礎)
- 別名：運動群或度量群
- 簡稱：正交群
- 簡介：全體正交變換所構成的變換群
基本介紹,正交變換群的幾何—歐氏幾何,相關概念,
基本介紹
歐氏平面內的所有正交變換的集合構成群。
證明：
根據方陣的乘法法則，我們有：
(2)逆元素：設A是正交變換T的方陣，且B是它的逆變換的方陣，則有：
由(1)(2)可得正交變換構成群。
正交變換群的幾何—歐氏幾何
正交變換就是運動，可以說所謂歐氏幾何就是正交變換群下的幾何。即，研究在正交變換之下有那些不變的性質和不變的量。由正交變換的定義，“距離”是基本的不變數，由此可以推出一系列其他的不變性叫不變數。 · ·正交變換把任意圖形F變成與它契約的圖形F‘，但正交變換是構成群的，因此圖形的契約關係具有下列性質： ·
1)圖形F與自身常契約(反身性)，恆等變換保證了這一性質。
2)如果圖形F契約於F‘，則圖形F’也契約於F(對稱性)，逆變換保證了這一性質。
3)如果圖形F1契約於圖形F2，圖形F2契約於圖形F3，則圖形F1契約於圖形F3(傳遞性)，變換積保證了這一性質。
因此，圖形的契約關係是一個等價關係。按著這—關係可將平面、(空間)內的所有圖形進行分類，凡是契約的圖形都屬於同一個等價類，其中所有的圖形都具有共同的幾何性質，它們是正交變換下的不變性質；反過來，正交變換下的不變性質，也正是同一等價類圖形的共同性質。
正交變換的幾何就是研究正交變換下各等價類的共同性質，也就是正交變換下圖形的不變性質和不變數。例如結合關係、順序關係、契約關係、度量關係、平行關係，而這些關係都是歐幾里得公理系統的推論，具體地說，這些不變性質和不變數也就是屬於，介於、相交、平行、垂直、契約、角、正多邊形、相似形、圓和其它二次曲線，長度、面積等，以及把這平面幾何的性質推廣到空間的一些性質等等，它們都是歐氏幾何所研究的幾何性質和量。可見，正交變換群的幾何學就是歐氏幾何學。
相關概念
正交變換的定義和簡單性質
定義 平面上(或空間中)保持兩點間距離不變的變換，叫做正交變換。
顯然，運動是正交變換。
正交變換有下列性質：
(1)兩個正交變換的乘積是正交變換，正交變換的逆變換還是正交變換，這些都不難用正交變換的定義驗證，容易看出正交變換的全體構成一個群，叫做正交變換群。
(2)正交變換把直線變成直線，為此，我們只需要證明，正交變換把共線的三點變成共線的三點．設P、Q、R是平面上順序的三點，那么，它們在同一直線上的充要條件是：|PQ|+|QR|=|PR|。因為正交變換保持距離不變，所以變換之後，這個等式仍然成立，因此還在一條直線上。
利用上面的事實可以證明，空間中的正交變換還把平面變成平面。
(3)正交變換把相交直線(或平面)變成相交直線(或平面)，平行直線(或平面)變成平行直線(或平面)。
平行直線(或平面)沒有公共點，它們經過正交變換之後，根據變換是一一的和性質(2)，仍然變成沒有公共點的直線(或平面)，即仍舊是平行直線(或平面)。
(4)正交變換保持線段的分比不變。
由正交變換保持距離不變這一事實即可推出。
由性質(4)和(2)，正交變換把線段變成線段，因為線段上的任意點把線段分成定比A，經過正交變換，A保持不變，所以線段上的點仍變成線段上的點，由此推出線段變成線段。
(5)正交變換保持角度不變。
實際上，設∠AOB(A、B是在角兩邊上任取的點)在正交變換下變成∠A'O'B'。因為正交變換保持距離不變，所以△AOB與△A'O'B'的對應邊相等，於是
(6)正交變換把直角坐標系變成直角坐標系，而且任意點M的象M'在新坐標系裡的坐標與點M在原坐標系裡的坐標相同。
因為正交變換即保持距離又保持角度不變，因此它把直角坐標系變為直角坐標系(圖1)。
圖1
圖2
設點M的坐標為(x，y)，因為正交變換保持分比不變，因而有
這表明M'在變換後的坐標系中的坐標與M在原坐標系中的坐標相同。其中，E1、E2分別是X軸與Y軸上的單位點；M1、M2分別是M在X軸與Y軸上的正投影。
對於空間的正交變換，也有同樣的結果。
