基本介紹
- 中文名：空間旋轉變換
- 外文名：rotation transformation in space
- 所屬學科：數學
- 別名：特徵正交變換
- 所屬問題：立體幾何（空間變換）
- 簡介：第一種正交變換
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基本介紹
一個空間到其自身的變換，如果它滿足下述條件，就叫作繞軸a，旋轉角為φ的空間旋轉。
(1)對於空間的任一點P及其對應點P'，同在垂直於直線a的平面M上；
(2)兩點P，P'到直線a的距離相等，即OP=OP'(如圖1所示)。
(3)由OP到OP'的旋轉方向規定為，當φ>0，就表示右手擰螺旋往軸的正向前進時的方向；如果φ<0，就表示用右手擰螺旋往軸的逆向前進時的方向，這裡∠POP'=φ。
在繞軸旋轉角φ的空間旋轉變換下，平面變成平面、直線變直線，平行的平面或平行的直線其平行性不變。
一個圖形F，如果繞某個軸旋轉一定角φ後仍變為其自身，這裡
（m是自然數，
），且滿足上述條件的最小的旋轉角，那么這個圖形F叫做n次旋轉自對稱圖形。
圖1 空間旋轉變換
空間旋轉變換是一種特殊的幾何變換，指空間的所有點繞同一直線旋轉同一角度的變換。旋轉變換簡稱旋轉，是歐氏幾何中的一種重要變換，即在歐氏平面上(歐氏空間中)，讓每一點P繞一固定點(固定軸線)旋轉一個定角，變成另一點P′，如此產生的變換稱為平面上(空間中)的旋轉變換，此固定點(固定直線)稱為旋轉中心(旋轉軸)，該定角稱為旋轉角。旋轉是第一種正交變換，在平面直角坐標系中，若旋轉中心為點M0(x0，y0)，點P(x，y)繞M0旋轉定角θ後變成點P′(x′，y′)，則平面上旋轉變換的代數表達式為
定理 對於空間兩次平面反射
的積，
(1)如果兩反射面
與
重合，則為恆等變換；
(2)如果兩反射面
，則為平移變換；
(3)如果兩反射面相交，則為旋轉變換。
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如果一個圖形F在契約變換f下對應於圖形F'，那么稱圖形F與F'契約。
我們不難發現，契約變換下，兩個對應圖形F與F'的邊界方向(順時針方向或逆時針方向)或者是一致的，或者是反向的。因此，按照對應圖形的邊界方向可以將契約變換分為兩類：將使得對應圖形F與F'的邊界方向相同的契約變換稱為第一類契約變換(如圖2)，而將使得兩個對應圖形F與F’邊界方向相反的契約變換稱為第二類契約變換(如圖3)。因而，我們將在第一類契約變換下的對應圖形F與F‘稱為真正契約，而把第二類契約變換下的對應圖形F與F'稱為鏡像契約。
圖2
圖3
利用上述分類方式，我們容易得到，平移變換、旋轉變換(即兩個反射變換的乘積)是第一類契約變換，而反射變換是第二類契約變換。
既然平移變換、旋轉變換是兩個反射變換的乘積變換，那么(自然的思考)，契約變換是否也是幾個反射變換的乘積變換呢?
我們猜測並可以證明：
性質1任一契約變換至多可以表示為三個反射變換的乘積。
圖4
證明設契約變換ω由三對不共線的對應點A與A'，B與B'，C與C'所確定(圖4)。
作AA’的垂直平分線
，那么，在以 為反射軸的反射變換下，△ABC變為△A'B1C1(若點A與A'重合，則沒有必要施行
)。此時，AB=A'B1=A'B'。
再作線段B1B'的垂直平分線
，則點A'必在 上，以 為反射軸的反射變換
將△A'B1C1變為△A'B'C2(如果B1與B'重合，也沒有必要施行變換 。此時A'C'=AC=A'C1=A'C2，B'C'=BC=B1C1=B'C2。
最後作線段C'C2的垂直平分線
，點A'、B'必在直線 上。在反射變換 的作用下，△A'B'C2變為△A'B'C'(若點C'與C2重合，則不必施行變換
，於是，
綜上所述，對於第一類契約變換，總可以表示為兩個反射變換的乘積；對於第二類契約變換，總可以表示為一個反射變換或三個反射變換的乘積，於是得下表：
圖5
