發現歷程和定義
在向量旋轉公式發現以前,瑞士數學家列昂哈德·
歐拉(Leonhard Euler(1707-1783))為了證明
四平方和定理,發現了四平方和恆等式。然而這個恆等式的構造過程非常繁瑣。直到後來,
四元數被引入,使得這個恆等式的推導大大簡化。
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羅德里格旋轉公式
四元數可以很方便地表示旋轉變換。但在很多場合中,使用矩陣形式和向量形式表達旋轉更有利於推導。向量旋轉公式最早由法國數學家班傑明·奧倫德·羅德里格(Benjamin Olinde Rodrigues(1795–1851))導出,後來被套用在很多領域。
設v是一個三維空間向量,k是旋轉軸的單位向量,則v在右手螺旋定則意義下繞旋轉軸k旋轉角度θ得到的向量可以由三個不共面的向量v, k和k×v構成的標架表示:
推導
如果被旋轉向量
v與旋轉軸
k(k為單位向量)相互垂直,那旋轉變換不難表示。而對於與旋轉軸
k呈任意角度的向量
v,可以通過正交分解,把被旋轉向量轉化為與旋轉軸平行的分量
和與旋轉軸垂直的分量
,其中與旋轉軸平行的分量
在旋轉中是不變的,而與旋轉軸垂直的分量
則恰好旋轉了角度
θ,把與旋轉軸平行的分量與旋轉以後的與旋轉軸垂直的分量加在一起,即可得到旋轉以後的向量。
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羅德里格旋轉公式
第一步是如何對向量v做正交分解:
通過做減法,得到
利用外積可以計算與
和
k都垂直,且長度等於
的向量
w:
旋轉以後的向量可以表示為:
矩陣形式
在計算機圖形學中,羅德里格向量旋轉公式通常被用來填寫旋轉矩陣。如果把k和v分別寫為列向量:
其中E是3階單位矩陣。需要注意的是,公式中的第二項不是點積,而是張量積,得到的是一個3行3列的矩陣。
理論力學中的套用
設在以角速度ω,繞單位向量
k旋轉的慣性系中,物體在
處以速度
v運動,則物體在該局部坐標系下的運動方程為: