四平方和定理

四平方和定理說明每個正整數均可表示為4個整數的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。

基本介紹

• 中文名：四平方和定理
• 外文名：Lagrange's Four-square Theorem
• 別稱：拉格朗日四平方和定理
• 提出者：歐拉
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數論

發展簡史

1743年，瑞士數學家歐拉發現了一個著名的恆等式：

根據上述恆等式或四元數的概念可知如果正整數 和 能表示為4個整數的平方和，則其乘積也能表示為4個整數的平方和。於是為證明原命題只需證明每個素數可以表示成4個整數的平方和即可。

1751年，歐拉又得到了另一個一般的結果。即對任意奇素數，同餘方程 必有一組整數解 滿足 (引理一)

至此，證明四平方和定理所需的全部引理已經全部證明完畢。此後，拉格朗日和歐拉分別在1770年和1773年作出最後的證明。

驗證推導

根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理，可知只需證明質數可以表示成四個整數的平方和即可。

因 ，故只需證明奇質數可以表示成四個整數的平方和。

根據引理一，奇質數 必有正倍數可以表示成四個整數的平方和。在這些倍數中，必存在一個最小的。設該數為 。又從引理一可知 。

證明m0不會是偶數

設 是偶數，且 。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設 與 的奇偶性相同， 與 的奇偶性相同，則 均為偶數，於是得到：

，與 是使得的假設 可以表示成四個整數的平方和的最小正整數矛盾。

證明 m0 = 1

下面用反證法證明 。

設 。

首先 不可整除 的最大公因子，否則 可整除 ，則得 是 的因子，但 且 為質數，矛盾。 故存在不全為零，且絕對值小於 （注意 是奇數在此的重要性）的整數 使得 。

由 ， 可得 ，其中 是正整數且小於 。

下面證明 可以表示成四個整數的平方和，從而推翻假設。 用四平方和恆等式令 ，可知 是 的倍數（由 的構造方式和同餘關係可得），令 ，則

與 矛盾。

引理一的證明

設 為奇素數，將和為 的剩餘兩個一組的分開，可得出 組，分別為 。

模 的二次剩餘有 個，分別為 .

若 是模 的二次剩餘，選取 使得，則，定理得證。

若 不屬於模 的二次剩餘，則剩下 組，分別為.，而模的二次剩餘仍有個，由於，根據抽屜原理，存在使