螺旋運動(數學名詞)

螺旋運動(helicoidal motion)是一種空間變換，指空間中一個旋轉和一個移動方向與旋轉軸平行的平移變換之積。旋轉的軸也稱為螺旋運動的軸，旋轉的角也稱螺旋運動的角。螺旋運動是一種空間運動，其逆變換仍是螺旋運動。兩螺旋運動的積是一個螺旋運動。任意一個螺旋運動可以分解為兩個軸反射之積，這兩個軸反射的反射軸是異面直線。空間的螺旋運動分兩類，若用彎曲的右手指表示構成螺旋運動的“旋轉”方向時，伸直的拇指恰表示構成螺旋運動的“移動”方向，則稱該螺旋運動是右螺旋運動，否則稱為左螺旋運動。平移是旋轉角為零的螺旋運動，旋轉是平移距離為零的螺旋運動。當螺旋運動不是平移或旋轉時，沒有不動點，而軸是惟一的不動線，又假如螺旋運動的角不等於kπ(k∈Z)，則它也沒有不動面。

基本介紹

• 中文名：螺旋運動
• 外文名：helicoidal motion
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：立體幾何(變換)
• 相關概念：平移運動，旋轉運動，空間變換等
• 分類：右螺旋運動，左螺旋運動
• 屬性：一種空間變換

基本概念

定義一

所謂螺旋運動，是指一個旋轉R和一個平移T的合成運動，平移沿著旋轉的軸。這兩個過程的順序無關重要(如果平移不是沿著旋轉的軸，情況就不同了)，換言之，設M為一點(如下圖)，沿軸D旋轉一個給定的角度至(這旋轉記作R)，再將平行於D作一確定的平移T到達新位置；如果先將M用平移T到達，再將繞軸D作旋轉R，那么依然來到同樣的位置。

螺旋運動

事實上，設m為兩點在軸上的公共射影，而為之射影，則圖形顯然可由圖形利用平移得出。那么前者就和後者一樣是一個等腰三角形，它的平面垂直於D而頂角等於R的轉幅，這就證明了斷言的正確性。

螺旋運動顯然包括旋轉(當平移T為零時)和平移(當旋轉R為零時)作為特殊情況。

備註：當我們已知一個螺旋運動時，在軸上就確定了一個正向，即平移的指向。因此，我們說一個螺旋運動是正的(或右手的)，或者反過來說是逆的(或左手的)，就看沿著平移的正向所作的旋轉是正的還是逆的。

定義二

由繞軸 的旋轉和沿著 方向與旋轉角成比例的移動而合成的運動，稱為螺旋運動(圖1)。軸 稱為螺旋軸。

圖1

若 是旋轉角(螺旋角)而 是進給(平移距離)，則有： 。

比例因子 ，稱為螺旋參數。若順著移動方向觀察一個螺旋，當旋轉為順時針方向時，這個螺旋為右螺旋，當旋轉為逆時針方向時，這個螺旋為左螺旋。

可以用p的正負號來確定螺旋的方向：

：右螺旋，

：左螺旋。

定理1 螺旋運動由繞一條軸的旋轉和沿軸向與旋轉角成比例的移動而形成，它是由螺旋軸，螺旋參數和螺旋方向，(右螺旋或左螺旋)所確定的。

螺旋運動的基本作圖

已知 點 和垂直於 的螺旋軸 的水平投影和正面投影，螺旋參數p和螺旋角 。

求作 從 轉過螺旋角 至P的這段螺旋軌跡的水平投影和正面投影。

在水平投影中，螺旋運動投影為繞 旋轉 角的轉動： 。 在過 的連繫線上。並比 高出進給 的距離。這段距離 可以往參數圓(圓心為 ，半徑為p)上取對應於圓心角 的弧而作出。最好用儘可能短的弦求出這段弧長。 ·

轉過一個整圈 的平移距離 ，稱為螺旋的導程。由它可以按照

計算出螺旋參數。p也稱為轉換導程。

圖2

螺旋體

幾何形體通過螺旋運動形成螺旋體。

點通過螺旋運動形成作為軌跡曲線的螺旋線(軌跡螺旋線)；

曲線通過螺旋運動形成為運動曲面的螺旋面；

曲面通過螺旋運動形成為包絡面的螺旋面。

一切螺旋體都可自相旋合。由於這個緣故，它們在工程中得到套用。

螺旋線

1. 以p為螺旋參數，當P點繞軸作螺旋運動時，其軌跡螺旋線b位於螺旋柱面 (以 為軸、半徑 的迴轉柱面)上。

由於 ，所以在 展開後，b成為一條直線。因此，螺旋線b與 的各條素線e相交成定角 ，對此有

於是b的切線對的每個法面成定坡度。螺旋線b是同坡線(對的每個法面而言)。

2. 若將b的切線平移到上一點R處，則它們形成b的準錐面(頂點為R、軸線為和半張角為的迴轉錐面，圖2)。螺旋運動的兩個導圓中的“第一個導圓”，稱為螺旋線b的準圓。準圓平面在R“之下”的距離為p。

圖3

任一螺旋切線，都垂直於通過其切點P的螺旋柱面半徑。由此得出：

螺旋切線平行於通過準點P*的準錐面素線，P*在準圓上，與交點相差角(圖3)

定理2 每條螺旋線都是螺旋軸的各個法面的同坡線，也是常曲率空間曲線。它的密切平面和切線，都與螺旋軸構成相同的角。

圖4