基本介紹
- 中文名：圓柱螺旋線
- 外文名：circular helix
- 學科：數學
- 屬於：曲線、螺旋線
- 基本要素：直徑D、導程H及旋向
- 性質：正面投影是正弦曲線，等
基本概念,導程,升角,螺旋線,圓柱螺旋線的參數方程,圓柱螺旋線的基本要素,圓柱螺旋線的投影作圖,
基本概念
導程
動點旋轉一周，其沿軸向上升的高度稱為導程，用S表示。動點繞軸螺旋2π/n角度時，沿軸上升的距離為S/n。根據動點旋轉方向，螺旋線可分為左螺旋線和右螺旋線兩種，符合右手四指握旋轉方向，動點沿拇指指向上升的稱為右螺旋線，如圖1(a)所示；符合左手四指握旋轉方向，動點沿拇指指向下降的稱為左螺旋線，如圖1(b)所示。
圖1
圖1升角
螺旋線上每一點的切線，對圓柱正截面的傾角都相等，這一角度稱為圓柱螺旋線的升角。它的餘角稱為螺旋角。
螺旋線展開時為一直線，它是以圓柱正截面圓周長為底邊，導程為高的直角三角形的斜邊。由於螺旋線展開後為一直線，因此它是圓柱面上不在同一素線的兩點之間的最短距離線。
螺旋線
在空間，一個動點M沿直線L作勻速直線運動，同時又以等角速度繞同平面的軸線Oz旋轉，M的軌跡是一條空間(非平面)曲線，稱為螺旋線。它分為左旋與右旋兩種。螺旋線是繞在圓柱面或圓錐面上的曲線，而它的切線與定直線(曲面的母線)的交角，是固定不變的。
圖2
圖2當動直線L平行於軸線Oz時，稱為圓柱螺線。它是工程上套用最廣泛的一種空間曲線，它的參數方程是：
它在軸線Oz方向的投影是圓;在與軸線垂直方向的投影，是正弦曲線。
自然界和日常生活中處處出現螺旋線，例如蝙蝠出洞時的飛行軌跡；植物的莖與葉；人的耳蝸等等。螺旋線還是生物學與核物理的一種重要結構，以光速運動的中微子和反中微子的軌跡，是某種具有相反(左與右)旋轉性的螺旋線，而通常的螺釘或螺母具有右旋性。腳踏車左、右腳蹬軸的螺紋分別具有左、右旋性。
圓柱螺旋線的參數方程
圓柱螺旋線參數方程為：
式中，θ=ωt，ω為角速度，h稱為螺距，β稱為螺旋角，式中對右螺旋線取正號，對左螺旋線取負號。如果以弧長s為參數，則其方程為：
圓柱螺旋線的基本要素
決定一圓柱螺旋線的三個基本要素是：圓柱螺旋線的直徑D、導程H及旋向。根據已知三要素D，H，旋向，就可以畫出螺旋線的投影圖，如圖3所示。如將圓柱表面展開，則螺旋線展成一直線，這條直線為直角三角形的斜邊，該直角三角形的一條直角邊長為導程H，另一直角邊長為圓柱底圓的周長πD。顯然，在一個導程內，螺旋線的長度為
。該直角三角形的銳角λ稱為螺旋線的升角。其中，
圖3
圖3圓柱螺旋線的投影作圖
如圖4所示，圓柱的軸線為鉛垂線，直徑為d，導程為S，點A是起點的右圓柱螺旋線，其投影作圖步驟如下。
(1) 作出直徑為d，高為S的圓柱面的兩面投影，然後將水平投影(圓)和正面投影上的導程分成相同的等分，圖中為12等分。
(2) 由圓周上各等分點引豎直線，與導程上相應各等分點所作的水平線相交，交點a′，1′，2′，…，12′即為螺旋線上各點的正面投影。
(3) 依次將a′，1′，2′，…，12′各點連成光滑曲線，即得到螺旋線的正面投影。在可見圓柱面上的螺旋線是可見的，其投影畫成實線，在不可見圓柱面上的螺旋線是不可見的，其投影畫成虛線。
圓柱螺旋線的正面投影是正弦曲線，水平投影是圓。
