群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。變換群是幾何學研究的重要對象。即由變換構成的群。
純不連續群(properly discontinuous group )是雙全純變換群的一種子群。
基本介紹
- 中文名：純不連續群
- 外文名：properly discontinuous group
- 領域：代數
- 性質：雙全純變換群的子群
- 對應集：有限集
- 對象：緊子集
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概念
純不連續群(properly discontinuous group )是雙全純變換群的一種子群。設Aut(M)為M的雙全純變換群，Γ是Aut(M)的子群。若對於M的任意一對緊子集K1，K2，集合{g∈Γ|g(K1)∩K2≠∅}是有限集，就稱Γ為Aut(M)的純不連續群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
子群
如果群G的非空子集合H對於G的運算也成一個群，那么H稱為G的子群。
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G.若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H.若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有Hi的交Hi是G的一個子群。
變換群
變換群是幾何學研究的重要對象。即由變換構成的群。設G是集合S的一一變換所構成的集合，若它滿足：
1.集合內任二變換之積仍屬於這集合;
2.集合內任一變換的逆變換仍屬於這集合，
則稱G為S的一個變換群。例如，平面上正交變換的全體構成的變換群稱為正交群；平面上仿射變換的全體構成的變換群稱為仿射群。平面上射影變換的全體構成的變換群稱為射影群。在“埃爾朗根綱領”中，變換群可用來對幾何學進行分類。
一組變換，對變換的乘積構成的群.設G為M上的有限或無限個變換的集合，若滿足下面兩個條件：①集合G中任意兩個變換的乘積仍屬於G;②集合G中每一個變換必有其逆變換，而且這個逆變換也屬於G，則稱G為M上的一個變換群。
例如，平移變換可以構成一個群：平面上任意兩個平移變換的積仍是平移變換;每個平移變換都有逆變換，這個逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換(參見“平移變換的性質”).
用變換群來研究對應的幾何學的觀點，是由德國數學家克萊茵首先提出來的.1872年，克萊茵在埃爾朗根大學的教授就職演講中，提出題為《關於近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換群在幾何中的主導作用.他把到當時為止已發現的所有的幾何，統一在變換群的觀點之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個變換群之下研究圖形不變性質與不變數的一門科學.這種觀點突出了變換群在研討幾何中的地位，為用近代數學方法研究幾何學開闢了道路，因此後來把它簡稱為《埃爾朗根綱領》.
按照變換群的觀點，幾何學可以這樣分類：研究射影變換群、仿射變換群、相似變換群、正交變換群下不變性質和不變數的幾何學分別是射影幾何學、仿射幾何學、拋物幾何學、歐氏幾何學.正交變換群也稱為運動群，歐氏幾何學的主要內容就是研究運動群下不變性質和不變數的幾何學.近代發展很快、套用越來越廣的一門學科——拓撲學，就是研究拓撲變換下不變性質和不變數的幾何學。
有限集
有限集是一種特殊集合。有限集似乎可以定義為元素個數為有限的集合，但這一定義本身就用了有限這一概念.德國數學家康托爾(Cantor，G.(F.P.))最初將其定義為能與自然數集合等勢的集合，但這一定義又依賴於自然數的概念。1888年，德國數學家戴德金(Dedekind，(J.W.)R.)給出了有限集的另一種定義方式，他將有限集定義為不能與其真子集等勢的集合。然而在利用這一定義證明某些有限集的性質時需要選擇公理。英國邏輯學家、數學家懷特海(Whitehead，A.N.)與英國數理邏輯學家羅素(Russell，B.A.W.)於1912年給出的下列有限集的定義克服了這一缺點。給定一個集合a，設u為a的冪集的一個子集，若u滿足：
1.0∈u;
2.對每個x∈u，y∈a，有x∪{y}∈u;
則稱u為a的一個歸納集。若a屬於它的每個歸納集，則稱a為有限集。懷特海與羅素證明，若且唯若選擇公理的一種情形ACω成立時，他們的定義與戴德金的定義等價。不是有限集的集合稱為無限集。在ZF公理系統中，稱滿足戴德金有限集定義的集合為戴德金有限集，否則稱為戴德金無限集。
