基本介紹
- 中文名：雙曲運動群
- 外文名：hyperbolic motion group
- 領域：代數
- 性質：運動群
- 定義：構成雙曲幾何的運動群
- 相關群：射影變換群
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概念
雙曲運動群(hyperbolic motion group)一種運動群。即構成雙曲幾何的運動群。在射影平面上取一條非退化的實二階曲線
作為絕對形，關於實二階曲線k的自同構變換稱為雙曲射影運動。具有公共絕對形的雙曲射影運動的全體構成射影變換群的一個子群，稱為雙曲運動群。研究在雙曲運動群下不變性質與不變數的幾何稱為雙曲幾何，或稱羅氏幾何。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
運動群
運動群亦稱正交變換群或度量群。簡稱正交群。一類基本的變換群。即全體正交變換所構成的變換群。例如，平面上全體正交變換的集合構成平面上的正交群，空間中正交變換的全體構成空間中的正交群。平面上(空間中)的正交群是平面上(空間中)仿射群的子群。研究正交群下不變性質與不變數的幾何稱為歐氏幾何或度量幾何。
變換群
變換群是幾何學研究的重要對象。即由變換構成的群。設G是集合S的一一變換所構成的集合，若它滿足：
1.集合內任二變換之積仍屬於這集合;
2.集合內任一變換的逆變換仍屬於這集合，
則稱G為S的一個變換群。例如，平面上正交變換的全體構成的變換群稱為正交群；平面上仿射變換的全體構成的變換群稱為仿射群。平面上射影變換的全體構成的變換群稱為射影群。在“埃爾朗根綱領”中，變換群可用來對幾何學進行分類。
一組變換，對變換的乘積構成的群.設G為M上的有限或無限個變換的集合，若滿足下面兩個條件：①集合G中任意兩個變換的乘積仍屬於G;②集合G中每一個變換必有其逆變換，而且這個逆變換也屬於G，則稱G為M上的一個變換群。
例如，平移變換可以構成一個群：平面上任意兩個平移變換的積仍是平移變換；每個平移變換都有逆變換，這個逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換。
用變換群來研究對應的幾何學的觀點，是由德國數學家克萊茵首先提出來的.1872年，克萊茵在埃爾朗根大學的教授就職演講中，提出題為《關於近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換群在幾何中的主導作用.他把到當時為止已發現的所有的幾何，統一在變換群的觀點之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個變換群之下研究圖形不變性質與不變數的一門科學.這種觀點突出了變換群在研討幾何中的地位，為用近代數學方法研究幾何學開闢了道路，因此後來把它簡稱為《埃爾朗根綱領》。
按照變換群的觀點，幾何學可以這樣分類：研究射影變換群、仿射變換群、相似變換群、正交變換群下不變性質和不變數的幾何學分別是射影幾何學、仿射幾何學、拋物幾何學、歐氏幾何學。正交變換群也稱為運動群，歐氏幾何學的主要內容就是研究運動群下不變性質和不變數的幾何學.近代發展很快、套用越來越廣的一門學科——拓撲學，就是研究拓撲變換下不變性質和不變數的幾何學。
射影變換群
射影變換群簡稱射影群。一類基本的變換群。即由射影空間中全體射影變換所構成的變換群。例如平面上全體射影變換構成平面上的射影群。空間中全體射影變換構成空間中的射影群。研究在射影群下不變性質與不變數的幾何稱為射影幾何。
射影平面
射影平面亦稱二維射影空間。射影幾何研究的基本對象。指二維(平面)射影幾何的全體點的集合。歐氏平面(或仿射平面)添加一條直線(即無窮遠直線)後稱為擴大平面。把擴大平面上的普通元素(點和直線)和無窮遠元素不加區別同等看待，這平面就成為射影平面的一個模型。反過來，若在一個射影平面上任意取定一條直線，把它當做無窮遠直線，並把這直線上的點當做無窮遠點，而將其餘的直線和點都當做有窮直線和有窮點，則該平面就可看做一個歐氏平面(或仿射平面)的擴大平面，即去掉了無窮遠點的全體有窮點的集合是歐氏平面(仿射平面)。射影平面具有與歐氏平面(仿射平面)不同的性質。例如在射影平面上，任何一條直線都不能把射影平面分成兩部分，任何兩條直線都相交，但它們卻不能把射影平面分成四部分。
研究學科——雙曲幾何
雙曲幾何是非歐幾何的一種。
非歐幾何是改換歐幾里德幾何學中的第五公設所建立的新幾何學。歐氏幾何第五公設是：若一直線與兩直線相交，且同側所交的兩內角之和小於兩直角，則兩直線無限延長後必相交於該側的一點。該公設常被後來由普萊費爾所給出的平行公理(一個過直線外一點有而且只有一條直線平行於已知直線)所代替。非歐幾何有兩種形式。如果把平行公理改換成：過直線外一點至少可以引兩條直線平行於已知直線，則得到羅巴切夫斯基幾何，又稱雙曲幾何。如果把平行公理改換成過直線外一點不存在平行於已知直線的直線，則得到黎曼幾何，又稱橢圓幾何。
非歐幾何反映了現實世界，特別是大質量、高速度的恆星世界和原子內部的微觀世界的空間形式，是建立相對論的數學工具。它在天體物理和原子物理中得到廣泛運用。非歐幾何的建立不僅促進了數學特別是純數學的重要部分一數學基礎的研究，而且，在哲學方面，改變了人們對數學性質以及數學與物理世界關係的看法。它反映出物質的空間特性是極為豐富的，空間的幾何性質依賴於空間的物理性質。
