柯西極限存在準則又叫柯西收斂原理，給出了收斂的充分必要條件。
基本介紹
套用方面,數列,數項級數,函式,反常積分,項級數,
套用方面
柯西極限存在準則，又稱柯西收斂準則，是用來判斷某個式子是否收斂的充要條件（不限於數列），主要套用在以下方面：
（1）數列
（2）數項級數
（3）函式
（4）反常積分
（5）函式列和函式項級數
每個方面都對應一個柯西準則，因此下文將按照不同的方面對準則進行說明。
數列
數列的柯西收斂準則
數列
收斂的充分必要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>N，n > N時，且m≠n，有
我們把滿足該條件的{xn}稱為柯西序列，那么上述定理可表述成：數列{xn}收斂，若且唯若它是一個柯西序列。
該準則的幾何意義表示，數列{xn}收斂的充分必要條件是：該數列中的元素隨著序數的增加而愈發靠近，即足夠靠後的任意兩項都無限接近。
證明
必要性
設
，則
，當m,n>N時，有
那么，
充分性
由於數列的柯西收斂準則是實數連續性的體現之一，所以用實數公理——戴德金定理證明{xn}收斂。
首先證明柯西序列是有界的。根據柯西序列的定義，對任意ε>0，存在正整數N，當m,n>N時，有|xn-xm|<ε。
於是取m=N+1，則當n>N時，|xn-xN+1|<ε。
解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即當n>N時，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。
向上述數列中添加{xn}的前N項得到{xn}本身，則由於前N項都是確定的實數，不會改變{xn}的有界性（即使此時{xn}的上、下界發生變化）。故對任意正整數n，{xn}都是有界的。
其次證明柯西序列收斂。設{xn}⊆[a,b]，有一個實數集A，A中的任一元素c滿足：區間(-∞,c)中最多有{xn}中的有限項（注意用詞“最多”，意味著可以有0項），而{xn}中的無限項都落在[c,+∞)。並把A在R中的補集設為B，則：
①由取法可知a∈A，並且顯然b∈B。即A和B都是非空數集。
②A∪B=R。
③根據集合A、B的定義，A中任意元素都小於B中的任意元素。
由戴德金定理得，存在唯一實數η，使η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。
∵η是A和B的分界點
∴
④由A的定義可知，
。
根據已知條件，當m,n>N時，|xn-xm|<ε
於是xm-ε<xn<xm+ε。聯立④中的不等式，可得到η-2ε<xn<η+2ε。
也就是當n>N時，不等式|xn-η|<2ε成立
∴
套用
作為柯西收斂準則的套用之一，我們可以用來證明實數的確界原理。
確界原理：非空有上（下）界數集，必有上（下）確界。
證明：先證非空有上界數集必有上確界。
設S是一個非空有上界的數集，且b1是其一個上界。則由S的非空性及實數的有序性可知，必定存在一個實數a1，使得a1小於S中的某個元素，即a1不是S的上界。
把閉區間[a1,b1]二等分，考慮閉區間中點
，如果是S的上界，則令
；否則令
。
重複此步驟，即如果某個閉區間中點
是S的上界，則令
，否則令
。這樣一來得到了一系列閉區間，滿足
①an≤an+1<bn+1≤bn
②
並且由閉區間的構造方式可知，對任意自然數n，an都不是S的上界，而bn都是S的上界。
下證{an}、{bn}收斂。
由極限的定義，根據②可知，
，使得當n>N時，|bn-an|<ε。
並且對任意正整數n和p，根據①可知，an≤an+p<bn+p≤bn。
於是當n>N時，0≤|an+p-an|<|bn-an|<ε。
令n+p=m，即可得到{an}是一個柯西序列，由柯西收斂準則知{an}收斂。
設
，由②得
。
下證r是S的上確界。
∵bn是S的上界
∴對S中的任一元素x，都有x≤bn
由極限的保序性逆定理可知x≤r，即r是S的上界。
又取任意r’<r，由及極限保序性可知，存在正整數N，當n>N時，就有an>r'。
∵an不是S的上界
∴r‘不是S的上界
即比r小的數不再是S的上界。根據上確界的定義，r是S的上確界，即非空有上界的數集必有上確界。
其次，再來證明非空有下界數集必有下確界。
設B是一個非空有下界的數集，A是B的所有下界組成的數集。
根據下界的定義，
，都有a≤b。換句話說，B中的所有元素都是A的上界，A是一個非空有上界數集。由於已證得非空有上界數集必有上確界，所以A有上確界，記該上確界為r。
下證r也是B的下確界。
顯然r∈A，這是因為如果r∉A，那么r一定是B中的最小值（根據上確界的定義），即對任意B中的元素b，都有r≤b。根據下界的定義，r也是B的一個下界，這樣一來r∈A，與假設矛盾。
又取任意r''>r，所以r''∉A，即比r大的數不再是B的下界。根據下確界的定義，r是B的下確界，即非空有下界數集必有下確界。
數項級數
數項級數的柯西收斂準則
數項級數
收斂的充要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>n>N時，有
證明
設數項級數 的部分和為Sn，根據級數收斂的定義， 收斂若且唯若
收斂。
顯然，對於確定的n來說，Sn都有唯一一個確定的數值，這樣一來{Sn}就是一個數列。故考慮用數列的柯西收斂準則來證明。
∵
∴由數列的柯西收斂準則可知，數項級數的柯西收斂準則也成立。
函式
考慮到數列是特殊的函式（即定義域為正整數集），可以猜想，函式的斂散性也應當有類似的結論，這就是接下來要說的函式的柯西收斂準則。
函式的柯西收斂準則
（1）x→x0時的準則
（2）x→∞時的準則
x1、x2是f(x)的定義區間上任意兩個實數。
以上準則針對單側極限依然有效。
該準則的充要條件又稱為（函式的）柯西條件，換句話說，函式收斂若且唯若函式滿足柯西條件。
證明
必要性
（1）x→x0 時的準則
設
，則
，當0<|x1-x0|<δ，0<|x2-x0|<δ 時，有
那么，
（2）x→∞ 時的準則
設
，則
，當|x1|>X，|x2|>X 時，有
那么，
充分性
由於函式極限和數列極限可以通過歸結原則聯繫起來，所以要證明函式收斂，可以轉化為證明數列收斂。而數列收斂的柯西準則上面已經證明了，所以把已知條件轉化為求數列極限是證明的重心。
歸結原則（或稱海涅定理）：設f(x)在x0的某個去心鄰域（或|x|大於某個正數時）有定義，那么
（或
）的充要條件是，對在x0的某個去心鄰域內的任意收斂於x0並且滿足xn≠x0的數列{xn}（或絕對值大於某個正數的任意發散到無窮大的數列{xn}），都有數列{f(xn)}收斂到A，即
這個原則在這裡不證明，只需要注意的是定理中的“任意”二字。另外，如果函式極限是單側極限，則相應的任意數列都是單調數列（右極限對應任意單調遞減數列，左極限對應任意單調遞增數列）。
（1）x→x0 時的準則
設{xn}是x0的某個去心鄰域內的任意收斂到x0並且xn≠x0的數列，由數列極限的定義，
（注意這裡的δ就是柯西條件的δ），當m,n>N時，有
而由0<|xm-x0|<δ，0<|xn-x0|<δ 可知，
換句話說，當m,n>N時，有
這也就是數列的柯西收斂準則，由柯西收斂準則可知數列{f(xn)}收斂。又因為{xn}的任意性，得到任意{xn}的極限都相等。於是根據歸結原則，f(x)收斂。
（2）x→∞ 時的準則
設{xn}是絕對值大於某個正數的任意發散到無窮大的數列，由數列發散到無窮大的定義，
（注意這裡的X就是柯西條件的X），當m,n>N時，有
而由|xm|>X，|xn|>X 可知，
換句話說，當m,n>N時，有
這也就是數列的柯西收斂準則，由柯西收斂準則可知數列{f(xn)}收斂。又因為{xn}的任意性，得到任意{xn}的極限都相等。於是根據歸結原則，f(x)收斂。
反常積分
反常積分分為兩種，一種是積分區間含有無窮大的反常積分（又叫做無窮限的反常積分），另一種是被積函式為無界函式的反常積分（又叫做無界函式的反常積分、瑕積分）。因此相應的柯西收斂準則有兩種，兩種準則的描述有些區別，但都可以根據函式的柯西收斂準則來證明。
反常積分的柯西收斂準則
（1）無窮限的反常積分
無窮限的反常積分
收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數X，使得當q>p>X時，有
無窮限的反常積分
收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數X，使得當p<q<-X時，有
前提是閉區間[p,q]⊂[a,+∞)（或(-∞,a]）。
（2）瑕積分
瑕積分
收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當a<p<q<a+δ時，有
其中x=a是f(x)的瑕點。
瑕積分 收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當b-δ<p<q<b時，有
其中x=b是f(x)的瑕點。
前提是閉區間[p,q]⊂(a,b]（或[a,b)）。
證明
（1）無窮限的反常積分
設
。由無窮限反常積分收斂的定義可知， 收斂，若且唯若
收斂。
於是根據函式的柯西收斂準則，
收斂的充要條件是，對於任意ε>0，總存在X>0，使得當p>X，q>X時，有
由定積分的性質可知，
。
把上述過程綜合起來，就得到 收斂的充要條件是：對於任意ε>0，總存在X>0，使得當p>X，q>X時，有
由此得證無窮限反常積分的柯西收斂準則。
（2）瑕積分
設
。由瑕積分收斂的定義可知， 收斂（x=a是瑕點），若且唯若
收斂。
於是根據函式的柯西收斂準則，
收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當0<p-a<δ，0<q-a<δ時，有
由定積分的性質可知，
。
把上述過程綜合起來，就得到 （x=a是瑕點）收斂的充要條件是，對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當0<p-a<δ，0<q-a<δ時，有
但是，0<p-a<δ，0<q-a<δ等價於a<p<a+δ，a<q<a+δ。令p<q，即得到a<p<q<a+δ，由此得證瑕積分的柯西收斂準則。
項級數
定義
所謂函式列指的是，具有相同定義域的一列函式f1(x)，f2(x)，f3(x)，……所構成的集合{fn(x)}，可以簡寫成{fn}。
而函式項級數，則是由這無窮多個函式相加所構成的級數
關於函式列和函式項級數收斂的定義，又有如下幾種：
（1）函式列（函式項級數）在某一點收斂
設x0為定義域上的某一點，那么fn(x0)是某個具體的常數，因此函式列{fn(x0)}（或函式項級數
）就轉化為一個數列（或數項級數）。如果當n趨於無窮大時，這個數列（或數項級數）的極限存在，則稱函式列{fn(x)}（或函式項級數 ）在x=x0處收斂，而把x0稱作函式列{fn}（或函式項級數
）的收斂點。
並把所有收斂點構成的集合稱為收斂域。顯然，收斂域是定義域的一個子集。
（2）極限函式與和函式
對於收斂域內任意一個數x，函式列（或函式項級數）成為一收斂的數列（或數項級數），因而有確定的函式值y（或和s）。通過這種對應關係，在收斂域上就定義了一個函式列的極限函式（或函式項級數的和函式），寫作f(x)（或s(x)），並有：
註：顯然函式項級數前n項的部分和sn(x)所構成的集合{sn(x)}同樣是一個函式列，並且sn(x)=f1(x)+f2(x)+……+fn(x)。
利用ε-N語言，可以精確地定義極限函式：
（3）函式列（函式項級數）的一致收斂
根據（2）中極限函式的定義，我們可以知道函式列{fn}具有極限函式的充要條件是：對任意ε>0，總存在正整數N，使得當n>N時，有|fn(x)-f(x)|<ε。通常這個N不僅與ε有關，也與自變數x有關，就算ε不變，當x發生改變時，N也會隨之改變。但是，如果某一函式列能找到這樣一個正整數N，它只與ε有關，而對定義域（或其某個子集）上的任意一點x這個N都適用。即對任何x∈D（D是函式列的定義域或其某個子集），只要n>N時，就有|fn(x)-f(x)|<ε。對於函式列的這種性質我們給它一個專門的名詞，這就是下面要介紹的一致收斂。
設D是函式列{fn}的定義域（或其某個子集），f是D上有定義的函式。如果對任意ε>0，總存在某一正整數N，使得當n>N時，對一切x∈D，都有|fn(x)-f(x)|<ε，則稱函式列{fn}在D上一致收斂於f。
又設{sn(x)}是函式項級數 的部分和函式列，若{sn(x)}在D上一致收斂於s(x)，則稱函式項級數
在D上一致收斂於s(x)。
顯然，函式列在某個數集上即使處處都收斂（又叫逐點收斂），也不一定在該數集上一致收斂。但在數集上一致收斂時，必定在該數集上逐點收斂。逐點收斂和一致收斂的關係可以參考函式連續和一致連續的關係。
函式列和函式項級數的柯西收斂準則
（1）函式列的柯西收斂準則
函式列
在D上一致收斂的充要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m,n>N時，對一切x∈D，有
（2）函式項級數的柯西收斂準則
函式項級數 在D上一致收斂的充要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>n>N時，對一切x∈D，有
證明
（1）函式列的柯西收斂準則
必要性
設
，則
，當m,n>N時，對任意x∈D，有
那么，
充分性
由於對確定的x∈D，{fn}為某一確定的數列，因此根據數列的柯西收斂準則，當x取遍D上的每一點時，函式列{fn}總收斂，設其極限函式為f。
現只需要證明，{fn}一致收斂於f。
事實上，由於已證得
，根據極限的定義，對任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>N時，有
於是，當n>N時，
這裡的ε和N都是柯西條件中的，即N只和ε有關，而對一切x∈D都適用。
因此根據一致收斂的定義，{fn}一致收斂於f。
（2）函式項級數的柯西收斂準則
根據函式項級數一致收斂的定義，我們只需要證明部分和函式列{sn(x)}在D上一致收斂於s(x)。顯然，{sn(x)}一致收斂於s(x)的充要條件即是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>n>N時，對一切x∈D，有
那么，函式項級數 一致收斂的充要條件亦即是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>n>N時，對一切x∈D，有
