有效域

在數學的一個分支——凸分析中,有效域是對定義域的擴展。如果一個凸函式映射到一般的實數域,則其有效域等價於一般的定義域。

基本介紹

  • 中文名:有效域
  • 外文名:Effective domain
  • 領域:數學
  • 分支:凸分析
定義,定義域,概述,相關條目,凸函式,凹函式,

定義

給定一個向量空間X,則一個映射到擴展的實數域的凸函式的有效域被定義為:
對於凹函式,其有效域為:
有效域的一個等價說法是上鏡圖的投影,即:
注意,如果一個凸函式映射到一般的實數域,即
,則其有效域等價於一般的定義域。
函式
是適當的凸函式,若且唯若f是凸的,f的有效域非空,且對於任意

定義域

概述

定義域(Domain),是函式自變數所有可取值的集合。給定函式
,其中
被稱為是
的定義域。
映射到陪域中的所有值的集合稱為
值域,記作
例如,函式
時沒有定義。它的定義域可以是
。在此情形下,若補充定義
,則
的定義域就可以是全體實數
任何函式都可以被限制到其定義域的子集上。限制函式
上,其中
,可以記作

相關條目

凸函式

凸函式是一個定義在某個向量空間的凸子集
(區間)上的實值函式
,如果在其定義域
上的任意兩點
,以及
,有
也就是說,一個函式是凸的若且唯若其上境圖(在函式圖像上方的點集)為一個凸集
如果對於任意的
,函式
嚴格凸的。
若對於任意的
,其中
,都有
,則稱函式
幾乎凸的。

凹函式

一個有實值函式f在某區間中(或者在某個向量空間中的凹集),任意x和y在[0,1]中的任意t,如果:
那么這就是一個嚴謹的凹函式,當中x≠y和t是落於(0,1)。
某函式
,在x和y之間的每一點z,在圖中的點(z,f(z) )是在以點(x,f(x) ) and (y,f(y) )連成的直線之上。

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