曲線模空間

我們把所有虧格g的光滑代數曲線--在同構意義下--放在一起構成的集合。該集合形成一個擬代數簇， 我們稱它為虧格g曲線模空間， 記為Μ_g。 一般說來, M_g不具備緊性。因此人們需要將其緊化。 有許多不同的緊化方式， 比如佐武緊化、Mumford緊化等

定義

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背景

模空間的概念可以追溯到黎曼對於黎曼曲面的傑出研究。 比如黎曼證明了模空間M_g的維數是3g-3.

小平邦彥 的經典形變理論實際上也可以看成是對模空間的局部切空間的性質討論。

模空間的研究是代數幾何理論的重要內容， 它從大範圍上反映了代數曲線群體的特性。

性質

1. M_g 的Mumford 緊化是射影代數簇;

2. 它的維數為3g-3（g≧2）；

3. 它的邊界是由那些虧格g的穩定曲線組成。

4. 設f:X →C是曲面纖維化， 那么存在有限態射 φ: C→M_g(的緊化).

5. 如果上述態射是平凡的， 那么f是非局部平凡的；

例子

1.射影直線的模空間是一個點;

2. 橢圓曲線的模空間緊化後是一條射影直線。