施瓦茲引理

數學上，施瓦茲引理是複分析關於定義在單位開圓盤的全純函式的一個結果，以赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨為名。

基本介紹

• 中文名：施瓦茲引理
• 外文名：Schwarz lemma
• 分類：數理科學
• 套用範圍：數學定理

簡介

設 為複平面中的開圓盤，如果

1. 是全純函式；

2. ；

3. 。

那么對所有在 中的 ， 成立，且 。如果等式 對某個不為0的z₀成立，或 ，那么 是一個旋轉： ，其中 。

這引理不及其他結果有名（例如黎曼映射定理，其證明有用到這引理），但卻是能顯示全純函式的嚴格性的一個簡單結果。對於實函式則沒有類似的結果。

證明

設

函式 在 內全純，由於f(0) = 0且f是全純函式。設D_r為D內一個半徑為r的閉圓盤。根據最大模原理，有：

對於所有D_r內的z和所有D_r的邊界上的z_r。當r趨於1時，我們便有|g(z)| ≤ 1。

而且，如果在 記憶體在某個不為0的z₀，使得g(z₀) = 1，那么把最大模原理套用於g，可得g是常數，因此f(z) =kz，其中k是常數且|k| = 1。這在當|f'(0)| = 1時也是正確的。

施瓦茲—皮克定理

施瓦茨引理有一個版本是在單位圓盤的解析自同構（即單位圓盤的全純雙射）下不變。這稱為施瓦茨-皮克定理。

設 全純。那么，對所有 ，

，

還有，對 ， 。

以下表達式

是龐加萊度量中兩點 的距離。龐加萊度量就是二維雙曲幾何的龐加萊圓盤模型的度量。這定理的要點是把單位圓盤映射到自己的全純函式減少各點間的龐加萊度量下的距離。若上兩不等式有一式的等號成立，就是說全純映射保持龐加萊度量下的距離，那么f一定是單位圓盤的解析自同構，由把圓盤映射到自己的莫比烏斯變換映射所給出。

一個對上半平面的相似的命題可記如下：

設全純。那么，對所有，

，

還有，對所有

。

若集中一式等號成立，那么f必是實係數的麥比烏斯轉換，也就是說若等號成立則有

，

其中是實數，及。