施瓦茨—皮克定理

定理概述

施瓦茨引理有一個版本是在單位圓盤的解析自同構（即單位圓盤

施瓦茨—皮克定理

的全純雙射）下不變。這稱為施瓦茨—皮克定理。

設<math>f:\Delta\to\Delta</math> 全純。那么，對所有<math>z_1,z_2\in \Delta</math>，

<math>\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|

\le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}</math>，

還有，對<math>z\in\Delta</math>，

<math>\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2} \le

\frac{1}{1-\left|z\right|^2}. </math>。

表達式

以下表達式

<math> d(z_1,z_2)=\tanh^{-1}\left(\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}\right) </math>

是龐加萊度量中兩點<math> z_1,z_2 </math>的距離。龐加萊度量就是二維雙曲幾何的龐加萊圓盤模型的度量。這定理的要點是把單位圓盤映射到自己的全純函式減少各點間的龐加萊度量下的距離。若上兩不等式有一式的等號成立，就是說全純映射保持龐加萊度量下的距離，那么f一定是單位圓盤的解析自同構，由把圓盤映射到自己的麥比烏斯轉換映射所給出。

施瓦茨—皮克定理

一個對上半平面<math>\mathbb{H}</math>的相似的命題可記如下：

設<math>f:\mathbb{H}\to\mathbb{H}</math>全純。那么，對所有<math>z_1,z_2\in \mathbb{H}</math>，

<math>\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{\overline{f(z_1)}-f(z_2)}\right|

\le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|\overline{z_1}-z_2\right|}</math>，

還有，對所有<math>z\in\mathbb{H}</math>

<math>\frac{\left|f'(z)\right|}{\mbox{Im }f(z)} \le

\frac{1}{\mbox{Im }(z)}. </math>。

若集中一式等號成立，那么f必是實係數的麥比烏斯轉換，也就是說若等號成立則有

<math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>，

其中<math>a,b,c,d</math>是實數，及<math>ad-bc>0</math>。